Tartalom

• Lépések
• Tanács

Ha matematikus vagy grafikus programozó vagy, akkor valószínűleg meg kell találnod a szöget két megadott vektor között. Ebben a cikkben a wikiHow megmutatja, hogyan kell ezt megtenni.

Lépések

1/2 rész: Keresse meg a szöget két vektor között

1. 

   Vektor meghatározása. Írja le a két vektorral kapcsolatos összes információt. Tegyük fel, hogy csak a dimenziókoordinátáik megadott paraméterei vannak (más néven komponensek). Ha már tudja a vektor hosszát (nagyságát), kihagyhatja az alábbi lépések némelyikét.
   • Példa: Kétdimenziós vektor = (2,2) és kétdimenziós vektor = (0,3). Felírhatók úgy is, mint = 2én + 2j és = 0én + 3j = 3j.
   • Bár a cikk példájában kétdimenziós vektorokat használnak, az alábbi utasítások tetszőleges számú dimenzióval rendelkező vektorokra vonatkozhatnak.

2. 

   
   
   Írja le a koszinusz-képletet. A két vektor közötti θ szög megtalálásához azzal a képlettel kezdjük, amellyel megtalálhatjuk az adott szög koszinuszát. Az alábbiakban megismerheti ezt a képletet, vagy csak így írja le:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| jelentése: "a vektor hossza".
   • • a két vektor skaláris szorzata - ezt az alábbiakban ismertetjük.

3. 

   
   
   Számítsa ki az egyes vektorok hosszát. Képzeljük el, hogy a derékszögű háromszög a vektor x, y komponenseiből és magából a vektorból áll. A vektor képezi a háromszög hipotenuszát, ezért a hosszának megtalálásához a Pitagorasz-tételt használjuk. Valójában ez a képlet könnyen kiterjeszthető bármilyen tetszőleges dimenziójú vektorra.
   • || u || = u₁ + u₂. Ha egy vektornak kettőnél több eleme van, akkor csak + u-t kell hozzáadnia₃ + u₄ +...
   • Ezért kétdimenziós vektor esetén || u || = √ (u₁ + u₂).
   • Ebben a példában |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Számítsa ki két vektor skaláris szorzatát. Talán megtanulta a vektor szorzás módszerét, más néven skaláris ez. A skaláris szorzat kiszámításához összetételükhöz szorozzuk össze az összetevőket mindkét irányban, majd adjuk össze a teljes eredményt.
   • A grafikus programmal kapcsolatban olvassa el a tippeket, mielőtt tovább olvasna.
   • A matematikában • = u₁v₁ + u₂v₂, ahol u = (u₁, u₂). Ha a vektornak kettőnél több eleme van, egyszerűen adja hozzá a + u billentyűt₃v₃ + u₄v₄...
   • Ebben a példában • = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Ez a vektor és a vektor skaláris szorzata.

5. 

   Helyezze az eredményeket a képletbe. Ne feledje, hogy cosθ = (•) / (|||| || ||). Most már ismerjük a skaláris szorzatot és az egyes vektorok hosszát. Írja be ezeket a képletbe a szög koszinuszának kiszámításához.
   • Példánkban cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Keresse meg a szöget koszinusza alapján. Használhatja az arccos vagy cos függvényt egy számológépben, hogy megtalálja a θ egy ismert cos értékből. Bizonyos eredmények alapján megtalálhatja a szöget az egység kör alapján.
   • A példában cosθ = √2 / 2. Írja be a számológépbe az "arccos (√2 ​​/ 2)" szót a szög megtalálásához. Vagy megtalálja a angle szöget az egység körén, a cosθ = √2 / 2 helyzetben θ = /₄ vagy 45º.
   • Mindent kombinálva a végső képlet: szög θ = arccosine ((•) / (|||| || ||))
   hirdetés

2. rész 2: A szögképlet meghatározása

1. 

   Értse meg a képlet célját. Ez a képlet nem a meglévő szabályokból származik. Ehelyett a skaláris szorzat és a két vektor közötti szög definíciójaként jön létre. Még így sem volt önkényes döntés. Visszatérve az alapvető geometriához megértjük, hogy ez a képlet miért nyújt intuitív és hasznos definíciókat.
   • Az alábbi példák kétdimenziós vektorokat használnak, mert a legkönnyebben érthetőek és a legegyszerűbbek. A háromdimenziós vagy több vektor tulajdonságait szinte hasonló általános képletek határozzák meg.

2. 

   Tekintse át Cosine tételét. Tekintsünk egy közönséges háromszöget, amelynek angle szöge van az a és b oldal között, szemben a c szemközti oldalon. A koszinusztétel szerint c = a + b -2abkötözősaláta(θ). Ez az eredmény egész egyszerűen az alapgeometriából származik.

3. 

   Csatlakoztasson két vektort háromszöget alkotva. Rajzoljon egy pár kétdimenziós vektorot papírra, vektorokat és vektorokat, θ a köztük lévő szög. Rajzoljon egy harmadik vektort e kettő közé egy háromszög létrehozásához. Más szavakkal, rajzoljon olyan vektort, amely + =. Vektor = -.

4. 

   Írja meg a koszinusztételt ehhez a háromszöghez. Helyezze be a "vektorháromszög" oldalhosszát a koszinusz-tételbe:
   • || (a - b) || = || a || + || b || - 2 || a || || b ||kötözősaláta(θ)

5. 

   Írja át skaláris szorzattal. Ne feledje, hogy egy skaláris szorzat az egyik vektor képe a másikra. Egy önmagában lévő vektor skaláris szorzata nem igényel vetületet, mert itt nincs iránybeli különbség. Ez azt jelenti, hogy • = || a ||. Ennek felhasználásával átírjuk az egyenletet:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||kötözősaláta(θ)

6. 

   Ugyanazt a képletet írta át. Bontsa ki a képlet bal oldalát, majd egyszerűsítse a szögek kereséséhez használt képlet megszerzéséhez.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b ||kötözősaláta(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||kötözősaláta(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||kötözősaláta(θ)
   • • = || a || || b ||kötözősaláta(θ)
   hirdetés

Tanács

• Az értékek megváltoztatásához és a probléma gyors megoldásához használja ezt a képletet bármely kétdimenziós vektorpárra: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (v₁ • v₂)).
• Ha számítógépes grafikus szoftverrel dolgozik, akkor valószínű, hogy csak a vektor méreteivel és nem pedig azok hosszával kell törődnie. A következő lépésekkel lerövidítheti az egyenletet és felgyorsíthatja a programot:
  • Normalizálja az egyes vektorokat úgy, hogy egyenlőek legyenek 1. Ehhez ossza el a vektor egyes komponenseit a hosszával.
  • Szerezzük meg a skalár normalizált szorzatát az eredeti vektor helyett.
  • Mivel a hossza 1, kizárhatjuk a hosszúsági elemeket az egyenletből. Végül a kapott szögegyenlet arccos (•).
• A koszinusz-képlet alapján gyorsan meghatározhatjuk, hogy a szög éles vagy tompa. Kezdje a következővel: cosθ = (•) / (|||| ||||):
  • Az egyenlet bal és jobb oldalának ugyanazzal a jellel kell rendelkeznie (pozitív vagy negatív).
  • Mivel a hossz mindig pozitív, a cosθ-nak ugyanazzal a jellel kell rendelkeznie, mint a skaláris szorzat.
  • Ezért, ha a termék pozitív, a cosθ is pozitív. Az egység kör első negyedében vagyunk, θ <π / 2 vagy 90º-val. A keresendő szög az éles szög.
  • Ha a skaláris szorzat negatív, akkor cosθ negatív. Az egység kör második negyedében vagyunk, π / 2 <θ ≤ π vagy 90º <θ ≤ 180º. Ez a börtön sarka.