Tartalom

• Lépni

A trigonometrikus egyenlet az x változó trigonometrikus görbe egy vagy több trigonometrikus függvénye. Az x megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk azokat a trigonometrikus görbéket, amelyek trigonometrikus függvényei a trigonometriai egyenlet igazát jelentik.

• A megoldásgörbék válaszait vagy értékeit fokokban vagy radiánokban fejezzük ki. Példák:

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 fok; x = 37,12 fok; x = 178,37 fok

• Megjegyzés: Az egység körön bármely görbe trigonometrikus függvényei megegyeznek a megfelelő szög trigonometrikus függvényeivel. Az egység kör meghatározza az x változó görbe összes trigonometrikus függvényét. Bizonyítékként használják az alapvető trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásában is.
• Példák trigonometrikus egyenletekre:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tan x + kiságy x = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Az egység kör.
   • Ez egy kör, amelynek Sugara = 1, ahol O az eredet. Az egységkör meghatározza az x változó görbe 4 fő trigonometrikus függvényét, amelyek az óramutató járásával ellentétes irányban köröznek.
   • Amikor az x értékű görbe változik az egység körön, akkor a következőket tartja:
   • Az OAx vízszintes tengely meghatározza az f (x) = cos x trigonometrikus függvényt.
   • Az OBy függőleges tengely meghatározza az f (x) = sin x trigonometrikus függvényt.
   • Az AT függőleges tengely meghatározza az f (x) = tan x trigonometrikus függvényt.
   • A BU vízszintes tengely meghatározza az f (x) = cot x trigonometrikus függvényt.

• Az egység kört az alapvető trigonometrikus egyenletek és a standard trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldására is használjuk, figyelembe véve az x görbe különböző pozícióit a körön.

Lépni

1. Értse meg a megoldási módszert.
   • A trigonometrikus egyenlet megoldásához egy vagy több alapvető trigonometrikus egyenletgé alakítja. A trigonometrikus egyenletek megoldása végül 4 alapvető trigonometrikus egyenlet megoldását eredményezi.
2. Tudja, hogyan lehet megoldani az alapvető trigonometrikus egyenleteket.
   • 4 alapvető trigonometrikus egyenlet létezik:
   • sin x = a; cos x = a
   • tan x = a; kiságy x = a
   • Az alapvető trigonometriai egyenleteket úgy oldhatja meg, hogy megvizsgálja az x görbe különböző helyzetét a trigonometrikus körön, és egy trigonometrikus konverziós táblázat (vagy számológép) használatával. Ezen és hasonló trigonometrikus alapvető egyenletek megoldásának teljes megértéséhez olvassa el a következő könyvet: "Trigonometria: Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása" (Amazon E-book 2010).
   • 1. példa Oldja meg a sin x = 0,866 értéket. A konverziós táblázat (vagy számológép) adja meg a választ: x = Pi / 3. A trigonometrikus kör egy másik görbét (2Pi / 3) ad, ugyanazzal az értékkel a szinuszra (0,866). A trigonometrikus kör a végtelen válaszokat is biztosítja, az úgynevezett kiterjesztett válaszokat.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi és x2 = 2Pi / 3. (Válaszok egy időszakon belül (0, 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi, és x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Részletes válaszok).
   • 2. példa Oldja meg: cos x = -1/2. A számológépek x = 2 Pi / 3 értéket adnak. A trigonometrikus kör megadja az x = -2Pi / 3 értéket is.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi és x2 = - 2Pi / 3. (Válaszok a (0, 2Pi) időszakra)
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi, és x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Kiterjesztett válaszok)
   • 3. példa Oldja meg: tan (x - Pi / 4) = 0.
   • x = Pi / 4; (Válasz)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (Kiterjesztett válasz)
   • 4. példa Oldja meg: kiságy 2x = 1,732. A számológépek és a trigonometrikus kör:
   • x = Pi / 12; (Válasz)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (Kiterjesztett válaszok)
3. Ismerje meg a trigonometrikus egyenletek megoldásában használt transzformációkat.
   • Egy adott trigonometrikus egyenlet standard trigonometrikus egyenletekké konvertálásához használjon standard algebrai átalakításokat (faktorizálás, közös tényező, polinomok ...), a trigonometrikus függvények definícióit és tulajdonságait, valamint a trigonometrikus azonosságokat. Körülbelül 31, közülük 14 trigonometrikus azonosság, 19-től 31-ig, más néven transzformációs azonosság, mert ezeket használják a trigonometrikus egyenletek átalakításakor. Lásd a fenti könyvet.
   • 5. példa: A trigonometrikus egyenlet: a sin x + sin 2x + sin 3x = 0 átalakítható trigonometrikus azonosságok felhasználásával az alapvető trigonometrikus egyenletek szorzatává: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. A megoldandó alapvető trigonometrikus egyenletek: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; és cos (x / 2) = 0.
4. Keresse meg azokat a görbéket, amelyeknél ismertek a trigonometrikus függvények.
   • Mielőtt megtanulná a trigonometrikus egyenletek megoldását, tudnia kell, hogyan lehet gyorsan megtalálni azokat a görbéket, amelyek ismertek a trigonometrikus függvényekről. A görbék (vagy szögek) konverziós értékeit trigonometrikus táblákkal vagy a számológéppel lehet meghatározni.
   • Példa: Oldjuk meg cos x = 0,732 értéket. A számológép megadja az oldat x = 42,95 fokot. Az egység kör más görbéket ad meg, amelyek értéke azonos a koszinusszal.
5. Rajzolja a válasz ívét az egység körére.
   • Létrehozhat egy grafikont, amely szemlélteti a megoldást az egység körön. Ezen görbék végpontjai szabályos sokszögek a trigonometrikus körön. Néhány példa:
   • Az x = Pi / 3 + k görbe végpontjai: Pi / 2 egy négyzet az egység körön.
   • Az x = Pi / 4 + k.Pi / 3 görbéket egy hatszög koordinátái képviselik az egység körén.
6. Ismerje meg a trigonometrikus egyenletek megoldását.
   • Ha az adott trigonometrikus egyenlet csak egy trigonometrikus függvényt tartalmaz, oldja meg standard trigonometrikus egyenletként. Ha az adott egyenlet két vagy több trigonometrikus függvényt tartalmaz, akkor két megoldási módszer létezik, az egyenlet konvertálásának lehetőségeitől függően.
     • A. 1. módszer
   • Konvertálja a trigonometrikus egyenletet az alábbi alakzat szorzatává: f (x) .g (x) = 0 vagy f (x) .g (x) .h (x) = 0, ahol f (x), g (x) és h (x) alapvető trigonometrikus egyenletek.
   • 6. példa. Oldja meg: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • Megoldás. Cserélje le a sin 2x-et az egyenletben az identitás használatával: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Ezután oldjon meg 2 szokásos trigonometrikus függvényt: cos x = 0 és (sin x + 1) = 0.
   • 7. példa. Oldja meg: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • Megoldás: Konvertálja ezt szorzattá a trigonometrikus azonosságok felhasználásával: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Most oldja meg a 2 alapvető trigonometrikus egyenletet: cos 2x = 0 és (2cos x + 1) = 0.
   • 8. példa Oldja meg: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2Pi)
   • Megoldás: Konvertálja ezt szorzattá a trigonometrikus azonosságok felhasználásával: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Most oldja meg a 2 alapvető trigonometrikus egyenletet: cos 2x = 0 és (2sin x + 1) = 0.
     • B. 2. megközelítés.
   • A trig-egyenletet trigg-egyenletgé alakítja, és csak egyetlen trigg függvény változó. Van néhány tipp a megfelelő változó kiválasztásához. Gyakori változók: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t és tan (x / 2) = t.
   • 9. példa. Oldja meg: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi).
   • Megoldás. Az egyenletben cserélje le (cos ^ 2x) az (1 - sin ^ 2x) kifejezésre, és egyszerűsítse az egyenletet:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Most használja a sin x = t értéket. Az egyenlet: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Ez egy másodfokú egyenlet, amelynek két gyöke van: t1 = -1 és t2 = 9/5. A második t2-t elutasíthatjuk, mert> 1. Most oldjuk meg: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • 10. példa Oldja meg: tan x + 2 tan ^ 2 x = cot x + 2.
   • Megoldás. Használja a tan x = t értéket. Konvertálja az adott egyenletet egyenletbe, amelynek változója a t: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Oldja meg ebből a szorzatból a t értéket, majd oldja meg a standard x x x tan t = x egyenletet.
7. Oldjon meg speciális trigonometrikus egyenleteket.
   • Van néhány speciális trigonometrikus egyenlet, amely bizonyos átalakításokat igényel. Példák:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. Ismerje meg a trigonometrikus függvények periodikus tulajdonságait.
   • Valamennyi trigonometrikus függvény periodikus, ami azt jelenti, hogy ugyanarra az értékre térnek vissza egy periódus alatti forgatás után. Példák:
     • Az f (x) = sin x függvény periódusa 2Pi.
     • Az f (x) = tan x függvény Pi-je periódus.
     • Az f (x) = sin 2x függvény Pi-je periódus.
     • Az f (x) = cos (x / 2) függvény periódusja 4Pi.
   • Ha a gyakorlatokban / tesztben meg van adva az időszak, akkor csak meg kell találnia az x görbét / görbéket ezen az időszakon belül.
   • MEGJEGYZÉS: A trigonometrikus egyenletek megoldása bonyolult, és gyakran hibákhoz és hibákhoz vezet. Ezért a válaszokat gondosan ellenőrizni kell. Megoldás után egy grafikus számológép segítségével ellenőrizheti a válaszokat, hogy az adott trigonometrikus egyenlet közvetlen ábrázolása R (x) = 0. A válaszokat (négyzetgyökként) tizedesjegyekkel adjuk meg. Például a Pi értéke 3,14