Tartalom

• Lépések
• Rész 1 /3: A mátrix transzponálása
• Rész 2 /3: Átültetési tulajdonságok
• Rész 3 /3: Hermitikus konjugált mátrix komplex elemekkel
• Tippek

Ha megtanulja a mátrixok transzponálását, akkor jobban megérti azok szerkezetét. Lehet, hogy már ismeri a négyzet alakú mátrixokat és azok szimmetriáját, amelyek segítenek az átültetés elsajátításában. Az átültetés többek között segít a vektorok mátrix formává alakításában és vektortermékek megtalálásában. Ha összetett mátrixokkal dolgozik, a Hermit-konjugált (konjugált-transzponáló) mátrixok számos probléma megoldásában segíthetnek.

Lépések

Rész 1 /3: A mátrix transzponálása

1. 1 Vegyünk bármilyen mátrixot. Bármely mátrix átültethető, függetlenül a sorok és oszlopok számától. Leggyakrabban négyzetes mátrixokat kell transzponálni, amelyek azonos számú sorral és oszloppal rendelkeznek, ezért az egyszerűség kedvéért tekintsük példának a következő mátrixot:
   • a Mátrix A =
     1  2  3
     4  5  6
     7  8  9
2. 2 Képzelje el a közvetlen mátrix első sorát az átültetett mátrix első oszlopaként. Csak írja be az első sort oszlopként:
   • transzponált mátrix = A
   • az A mátrix első oszlopa:
     1
     2
     3
3. 3 Tegye ugyanezt a többi sorral. Az eredeti mátrix második sora lesz az átültetett mátrix második oszlopa. Fordítson le minden sort oszlopokra:
   • A =
     1  4  7
     2  5  8
     3  6  9
4. 4 Próbáljon transzponálni egy nem négyzet alakú mátrixot. Bármely téglalap alakú mátrix ugyanúgy transzponálható. Csak írja be az első sort első oszlopnak, a második sort második oszlopnak stb. Az alábbi példában az eredeti mátrix minden sora saját színnel van megjelölve, hogy világosabb legyen az átalakítás módja transzponáláskor:
   • a Mátrix Z =
     4  7  2  1
     3  9  8  6
   • a Mátrix Z =
     4  3
     7  9
     2  8
     1  6
5. 5 Fejezzük ki az átültetést matematikai jelölés formájában. Bár az átültetés gondolata nagyon egyszerű, a legjobb, ha szigorú képletként írjuk le. A mátrix jelölés nem igényel különleges feltételeket:
   • Tegyük fel, hogy adott egy B mátrix, amely a következőkből áll m x n elemek (m sorok és n oszlopok), akkor az átültetett B mátrix egy halmaz n x m elemek (n sor és m oszlop).
   • Minden elemre b_xy (vonal x és oszlop y) a B mátrixban a B mátrixban létezik egy ekvivalens b elem_yx (vonal y és oszlop x).

Rész 2 /3: Átültetési tulajdonságok

1. 1 (M. = M. Kettős transzponálás után az eredeti mátrixot kapjuk. Ez elég nyilvánvaló, hiszen amikor újra transzponál, újra megváltoztatja a sorokat és az oszlopokat, így az eredeti mátrixot kapja.
2. 2 Tükrözze a mátrixot a főátló körül. A négyzet alakú mátrixokat "át lehet fordítani" a főátlóhoz képest. Ezenkívül a főátló mentén lévő elemek (a₁₁ a mátrix jobb alsó sarkához) a helyükön maradnak, a többi elem pedig ennek az átlónak a másik oldalára mozog, és ugyanolyan távolságra marad tőle.
   • Ha nehezen tudja elképzelni ezt a módszert, vegyen egy darab papírt, és rajzoljon egy 4x4 -es mátrixot. Ezután rendezze át oldalsó elemeit a főátlóhoz képest. Ugyanakkor kövesse nyomon az elemeket a₁₄ és a₄₁... Átültetéskor azokat fel kell cserélni, mint a többi oldalsó elempár.
3. 3 Transzponálja a szimmetrikus mátrixot. Az ilyen mátrix elemei szimmetrikusak a főátlóra. Ha elvégzi a fenti műveletet, és "megfordítja" a szimmetrikus mátrixot, az nem változik. Minden elem hasonlóra változik. Valójában ez a standard módszer annak meghatározására, hogy egy adott mátrix szimmetrikus -e. Ha az A = A egyenlőség érvényes, akkor az A mátrix szimmetrikus.

Rész 3 /3: Hermitikus konjugált mátrix komplex elemekkel

1. 1 Tekintsünk egy összetett mátrixot. A komplex mátrix elemei valós és képzelt részekből állnak. Egy ilyen mátrix is ​​transzponálható, bár a legtöbb gyakorlati alkalmazásban konjugált transzponált vagy Hermitian-konjugált mátrixokat használnak.
   • Adjunk egy C = mátrixot
     2+én     3-2én
     0+én     5+0én
2. 2 Cserélje ki az elemeket összetett konjugált számokkal. A komplex ragozás működésében a valódi rész változatlan marad, és a képzelt rész az ellenkezőjére változtatja a jelét. Tegyük ezt a mátrix mind a négy elemével.
   • keresse meg a C * = komplex konjugált mátrixot
     2-én     3+2én
     0-én     5-0én
3. 3 A kapott mátrixot transzponáljuk. Vegyük a talált összetett konjugált mátrixot, és egyszerűen ültessük át. Ennek eredményeként konjugátummal transzponált (Hermitian-konjugált) mátrixot kapunk.
   • a konjugátummal transzponált mátrix C =
     2-én        0-én
     3+2én     5-0én

Tippek

• Ebben a cikkben az A mátrixhoz viszonyított transzponált mátrixot A -val jelöljük. Van még A 'vagy à jelölés.
• Ebben a cikkben az Hermitian-konjugált mátrixot az A mátrix vonatkozásában A-val jelöljük, ami a lineáris algebrában gyakori jelölés. A kvantummechanikában gyakran használják az A jelölést.Néha egy Hermit konjugált mátrixot A *alakban írnak, de jobb elkerülni ezt a jelölést, mivel összetett konjugált mátrix írására is használják.