Tartalom

• Lépések
• Tanács
• Amire szükséged van

A matematikában faktoranalízis olyan számok vagy kifejezések megkeresése, amelyek adott szám vagy egyenlet szorzatával rendelkeznek. A faktoranalízis hasznos elsajátítandó készség az algebrai alapproblémák megoldásához: az ügyes faktorizálás képessége szinte kritikus a munka szempontjából. algebrai egyenletekkel vagy más polinomalakokkal. Faktorelemzéssel csökkenthetjük az algebrai kifejezéseket, ezzel egyszerűsítve a problémát. Hála annak, hogy bizonyos lehetséges válaszokat sokkal gyorsabban kiküszöbölhet, mint kézzel megoldani.

Lépések

3. Módszer: Elemezze a számokat és az algebrai kifejezéseket tényezőkké

1. 

   
   
   Értse meg a faktoranalízis definícióját, amikor egyetlen számra alkalmazza. Habár fogalmilag egyszerű, a gyakorlatban a komplex egyenletek alkalmazása meglehetősen kihívást jelenthet. Ezért a legkönnyebb faktoranalízis-koncepciós megközelítés az, ha egyetlen számból indul ki, majd továbbhalad az egyszerű egyenletekre, mielőtt továbbhaladna a fejlettebb alkalmazásokkal. Tényező egy adott számra az azonos szám szorzatával rendelkező számok tartoznak. Például 1, 12, 2, 6, 3 és 4 a 12-es tényező, mert 1 × 12, 2 × 6 és 3 × 4 mind egyenlő 12-vel.
   • Más szavakkal, egy adott szám tényezői számok megosztott azzal a számmal.
   • Megtalálja a teljes 60-as tényezőt? A 60-as számot sokféle célra használják (perc egy órában, másodperc egy percben stb.), Mert sok számmal osztható.
     • A 60-as számnak a következő tényezői vannak: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 és 60.

2. 

   
   
   Értse meg, hogy a változókat tartalmazó kifejezések is faktorizálhatók. A független számokhoz hasonlóan a számtani együtthatóval rendelkező változókat is lehet faktorizálni. Ehhez csak meg kell találnunk a változó együtthatójának tényezőit. Az elemzés faktorizálásának ismerete nagyon hasznos a változókat tartalmazó egyszerű transzformációs algebrai egyenletekben.
   • Például a 12x átírható a 12 és az x eredményének. Lehetséges 12x-et írni 3 (4x), 2 (6x) stb. Formában, és bármely olyan tényezőt használni, amely a legjobban megfelel a 12 rendeltetésszerű használatának.
     • Akár 12x elemzésig is eljuthat sokszor. Más szavakkal, nincs szükség a 3 (4x) vagy a 2 (6x) megállítására - 4x és 6x elemzésével 3 (2 (2x) 2 (3 (2x)) -et kapunk. Ez a képlet egyenértékű.

3. 

   
   
   Alkalmazza a szorzás asszociatív tulajdonságait az algebrai egyenletek faktorizálására. A független számok és az együtthatók tényezőkké történő elemzésének ismerete alapján egyszerűsítheti az egyszerű algebrai egyenleteket azáltal, hogy megtalálja az egyenletben szereplő számok és változók közös tényezőit. Gyakran azért, hogy az egyenlet a lehető legegyszerűbb legyen, megpróbáljuk megtalálni a legnagyobb közös osztót. Ez az egyszerű átalakítás a szorzás asszociatív természetének köszönhetően lehetséges - minden a, b és c szám esetében: a (b + c) = ab + ac.
   • Vizsgáljuk meg a következő példa problémát. Az algebrai 12x + 6 egyenlet tényezővé való faktorálásához először a 12x és 6 legnagyobb közös osztóját találjuk. 6 a legnagyobb szám, amellyel a 12x és 6 egyaránt osztható, így egyszerűen átalakíthatjuk csökkentse az egyenletet 6-ra (2x + 1).
   • Ugyanez a folyamat vonatkozik azokra az egyenletekre, amelyek negatív előjeleket és frakciókat tartalmaznak. Például az x / 2 + 4 egyszerűen átalakítható 1/2 (x + 8) értékre, és a -7x + -21 értéket -7 (x + 3) értékre bonthatjuk.
   hirdetés

2. módszer a 3-ból: A másodfokú egyenletek elemzése tényezőkké

1. 

   Győződjön meg arról, hogy az egyenlet másodfokú formában van (ax + bx + c = 0). A másodfokú egyenletnek ax + bx + c = 0 alakja van, ahol a, b és c konstansok és a nem nulla (vegye figyelembe, hogy a lehet 1 vagy -1). Ha az egyváltozós (x) egyenlet tartalmaz egy vagy több olyan kifejezést, amely az x négyzetét tartalmazza, akkor az egyenlőségjel egyik oldalán lévő algebrai operátort általában 0-ra konvertálhatja, és axet hagyhat stb. a másik oldalon.
   • Például az 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 algebrai egyenlet x + 6x + 9 = 0-ra redukálható, ami másodfokú forma.
   • Azok az egyenletek, ahol x-nek nagyobb a kitevője, például x, x és így tovább. nem lehet másodfokú. Négyzetesek, kvaternerek, ... hacsak az egyenlet nem csökkenthető az x 3 vagy annál nagyobb hatványait tartalmazó kifejezések kiküszöbölésével.

2. 

   Másodfokú egyenletekkel, amikor a = 1, (x + d) (x + e) ​​-re bomlunk, ahol d × e = c és d + e = b. Ha a másodfokú egyenlet x + bx + c = 0 formában van (más szóval, ha az x = 1 együttható), akkor fennáll a lehetőség (de nem biztos), hogy viszonylag gyors számítást alkalmazhatunk. egyszerű ezt az egyenletet faktorizálni. Keressen két c-vel egyenlő számot és az összeg megegyezik b-vel. Miután megtalálta d és e, helyettesítse őket a következő kifejezéssel: (x + d) (x + e). Összeszorozva ez a két elem megadja a fenti másodfokú egyenletet - más szóval, ezek az egyenlet tényezői.
   • Vegyük például az x + 5x + 6 = 0. másodfokú egyenletet. A 3 és 2 szorzata 6, egyúttal pedig összesen 5. Ezért egyszerűen konvertálhatjuk az egyenletet (x + 3) ( x + 2).
   • Ez az alapvető gyorsjavítás egy kicsit más lesz, ha maga az egyenlet kicsit más:
     • Ha a másodfokú egyenlet x-bx + c formában van, akkor a válasz a következő lesz: (x - _) (x - _).
     • Ha x + bx + c formában van, akkor a válasz a következő lesz: (x + _) (x + _).
     • Ha x-bx-c formátumban van, akkor a válasz (x + _) (x - _) formában lesz.
   • Megjegyzés: a szóközökben lehetnek törtek vagy tizedesek. Például az x + (21/2) x + 5 = 0 egyenlet bomlik (x + 10) (x + 1/2).

3. 

   
   
   Ha lehetséges, végezzen faktoranalízist teszteléssel. Akár hiszi, akár nem, a bonyolult másodfokú egyenlettel a faktorizálás egyik elfogadott módja egyszerűen a probléma vizsgálata, majd az összes lehetséges válasz mérlegelése helyes válasz. Vizsgálati módszerként is ismert.Ha az egyenletnek ax + bx + c és a> 1 alakja van, akkor faktoranalízisének formája (dx +/- _) (ex +/- _) lesz, ahol d és e konstansok a másik nem egyenlő az a-val. d vagy e (vagy mindkettő) lehet 1-nek felel meg, bár nem feltétlenül lesz. Ha mindkettő megegyezik 1-vel, akkor alapvetően a fent bemutatott gyors munkát használta volna.
   • Tekintsük a következő példaproblémát. Első pillantásra a 3x - 8x + 4 elég félelmetesnek tűnik. Ha azonban rájössz, hogy a 3-nak csak két tényezője van (3 és 1), a probléma könnyebbé válik, mert tudjuk, hogy a válasznak formájúnak kell lennie (3x +/- _) (x +/- _). Ebben az esetben a -2 helyettesítése mindkét térben a helyes választ adja. -2 × 3x = -6x és -2 × x = -2x. -6x és -2x összesen egyenlő -8x. -2 × -2 = 4, ezért látható, hogy a zárójelben elemzett elemek adják meg a kezdeti egyenletet.

4. 

   
   
   A négyzet kitöltésével oldja meg a problémát. Bizonyos esetekben a másodfokú egyenletek gyorsan és egyszerűen megtöbbszörözhetők egy speciális algebrai identitás segítségével. Az x + 2xh + h = (x + h) alakú tetszőleges másodfokú egyenlet. Ezért ha az egyenletben b a c négyzetgyöke kétszerese, akkor az egyenlet (x + (sqrt (c))) -re bontható.
   • Az x + 6x + 9 egyenlet működne például ennél a formánál. 3 egyenlő 9 és 3 × 2 egyenlő 6. Tehát tudjuk, hogy ennek az egyenletnek a faktorizációs formája (x + 3) (x + 3) vagy (x + 3).

5. 

   
   
   Másodfokú egyenletek megoldása tényezőkkel. Akárhogy is, ha a másodfokú kifejezést faktorizálták, az x tényezőre nulla megadásával és megoldásával lehetséges választ találhat az x értékére. Mivel az x értékét olyannak keresi, hogy az egyenlet nulla, minden olyan x, amely egy tényezőt nulla lesz, lehetséges megoldást jelent az egyenletre.
   • Térjen vissza az x + 5x + 6 = 0 egyenlethez. Ezt felbontjuk (x + 3) (x + 2) = 0. Ha egy tényező nulla, akkor az egész egyenlet nulla lesz. Az x lehetséges megoldásai azok a számok, amelyek (x + 3) és (x + 2) 0-nak, -3-nak és -2-nek tesznek egyenlővé.

6. 

   Ellenőrizze a válaszait - néhány egzotikus lehet! Ha megtalálja az x lehetséges megoldásait, cserélje le őket az eredeti egyenletre, hogy megállapítsák, helyesek-e vagy sem. Néha a válasz megtalálja Nincs mit az eredeti egyenlet nulla lesz, amikor kicserélik. Ezeket a megoldásokat hívjuk Egzotikus és megszüntesse őket.
   • Helyettesítsük -2 és -3 értékét x + 5x + 6 = 0 értékre. Először -2:
     • (-2) + 5(-2) + 6 = 0
     • 4 + -10 + 6 = 0
     • 0 = 0. Igen, tehát a -2 az egyenlet érvényes megoldása.
   • Most próbálkozzunk a -3-val:
     • (-3) + 5(-3) + 6 = 0
     • 9 + -15 + 6 = 0
     • 0 = 0. Ez szintén igaz, ezért a -3 is érvényes megoldása az egyenletnek.
   hirdetés

3. módszer a 3-ból: Elemezzen más típusú egyenleteket tényezőkké

1. 

   Ha az egyenlet a-b formában van, bontsa le (a + b) (a-b) -re. Az elemzett kétváltozós egyenlet eltér az alapvető másodfokú egyenlettől. Bármely a-b egyenlet, amelyben a és b nem nulla, bomlik (a + b) (a-b) -re.
   • Például a 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y) egyenlet.

2. 

   Ha az egyenlet a + 2ab + b formában van, bontsa le (a + b) -re. Vegye figyelembe, hogy ha a trinomiális forma a-2ab + b, a faktorizációs forma kissé eltér: (a-b).
   • A 4x + 8xy + 4y egyenletek 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y formátumban írhatók át. Most azt látjuk, hogy a megfelelő formában van, és magabiztosan kijelenthetjük, hogy ennek az egyenletnek a faktorizációs formája (2x + 2y).

3. 

   Ha az egyenlet a-b formában van, bontsa le (a-b) -re (a + ab + b). Végül el kell mondani, hogy a terner egyenleteket és még magasabb rendű egyenleteket lehet faktorizálni. Az elemzési folyamat azonban gyorsan hihetetlenül összetetté válik.
   • Például 8x - 27y bomlik (2x - 3y) -ra (4x + ((2x) (3y)) + 9y)
   hirdetés

Tanács

• az a-b faktorizálható, az a + b pedig nem.
• Ne feledje, hogyan kell az állandókat faktorozni - ez hasznos lehet.
• Figyeljen a frakcionálási folyamat frakcióira, kezelje azokat helyesen és megfelelően.
• Az x + bx + (b / 2) trident esetén annak tényezője (x + (b / 2)) lenne (a négyzet kitöltése során találkozhat ezzel a helyzettel).
• Ne feledje, hogy a0 = 0 (tulajdonság megszorozva nullával).

Amire szükséged van

• Papír
• Ceruza
• Matematikai könyv (ha szükséges)