Tartalom

• Rövid összefoglaló
• Lépések
• Rész 1 /3: Mátrixok oszthatóságának tesztelése
• 2. rész a 3 -ból: Az inverz mátrix megtalálása
• 3. rész 3: Mátrix szorzás
• Tippek
• Figyelmeztetések
• További cikkek

Ha tudja, hogyan kell megszorozni két mátrixot, akkor elkezdheti a mátrixok „felosztását”. A „felosztás” szó idézőjelbe van foglalva, mivel a mátrixok valójában nem oszthatók fel. Az osztási műveletet felváltja az a művelet, hogy az egyik mátrixot megszorozzuk egy mátrixszal, amely a második mátrix inverze. Az egyszerűség kedvéért tekintsünk egy példát egész számokkal: 10 ÷ 5. Keresse meg az 5: 5 vagy /₅, majd az osztást helyettesítsük szorzással: 10 x 5; az osztás és a szorzás eredménye ugyanaz lesz. Ezért úgy gondolják, hogy az osztást felválthatja az inverz mátrix szorzása. Általában ilyen számításokat használnak a lineáris egyenletrendszerek megoldására.

Rövid összefoglaló

1. Nem oszthatja fel a mátrixokat. Osztás helyett az egyik mátrixot megszorozzuk a második mátrix inverzével. Két mátrix "osztása" [A] ÷ [B] a következőképpen íródik: [A] * [B] vagy [B] * [A].
2. Ha a [B] mátrix nem négyzet alakú, vagy ha a determinánsa 0, akkor írja le, hogy "nincs egyértelmű megoldás". Ellenkező esetben keresse meg a [B] mátrix determinánsát, és folytassa a következő lépéssel.
3. Keresse meg az inverzt: [B].
4. A mátrixokat megszorozva az [A] * [B] vagy a [B] * [A] keresendő. Ne feledje, hogy a mátrixok szorzási sorrendje befolyásolja a végeredményt (vagyis az eredmények változhatnak).

Lépések

Rész 1 /3: Mátrixok oszthatóságának tesztelése

1. 1 Értsd meg a mátrixok „felosztását”. Valójában a mátrixokat nem lehet felosztani. Nincs olyan matematikai művelet, mint „az egyik mátrix megosztása a másikkal”. Az osztást felváltja az egyik mátrix megszorzása a második mátrix inverzével. Vagyis az [A] ÷ [B] jelölés nem helyes, ezért helyébe a következő jelölés lép: [A] * [B]. Mivel a skaláris értékek esetében mindkét bejegyzés egyenértékű, elméletileg beszélhetünk mátrixok „felosztásáról”, de mégis jobb, ha a helyes terminológiát használjuk.
   • Ne feledje, hogy az [A] * [B] és a [B] * [A] különböző műveletek. Szükség lehet mindkét művelet elvégzésére, hogy megtaláljuk az összes lehetséges megoldást.
   • Például ahelyett ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ írd le ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$.
     Lehet, hogy számolnia kell ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$hogy más eredményt érjen el.
2. 2 Győződjön meg arról, hogy a mátrix, amellyel „felosztja” a másik mátrixot, négyzet. A mátrix megfordításához (a mátrix inverzének megkereséséhez) négyzetnek kell lennie, azaz azonos számú sorral és oszloppal. Ha a fordított mátrix nem inverz, nincs határozott megoldás.
   • Ismétlem, a mátrixok itt nem "oszthatók". Az [A] * [B] műveletben a leírt feltétel a [B] mátrixra vonatkozik. Példánkban ez a feltétel a mátrixra vonatkozik ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
   • Az inverz mátrixot nem degeneráltnak vagy szabályosnak nevezzük. A nem megfordítható mátrixot degeneráltnak vagy szingulárisnak nevezzük.
3. 3 Ellenőrizze, hogy a két mátrix szorozható -e. Két mátrix megszorzásához az első mátrix oszlopainak számának meg kell egyeznie a második mátrix sorainak számával. Ha ez a feltétel nem teljesül az [A] * [B] vagy [B] * [A] bejegyzésben, nincs megoldás.
   • Például, ha az [A] mátrix mérete 4 x 3 és a [B] mátrix mérete 2 x 2, akkor nincs megoldás. Nem szorozhat [A] * [B], mert 4 ≠ 2, és nem szorozhat [B] * [A], mert 2 ≠ 3.
   • Vegye figyelembe, hogy a [B] inverz mátrixnak mindig ugyanannyi sora és oszlopa van, mint az eredeti mátrixnak [B]. Nem szükséges megtalálni az inverz mátrixot annak ellenőrzéséhez, hogy két mátrix szorozható -e.
   • Példánkban mindkét mátrix mérete 2 x 2, tehát tetszőleges sorrendben megszorozhatók.
4. 4 Keresse meg a 2 × 2 mátrix determinánsát. Ne feledje: egy mátrixot csak akkor fordíthat meg, ha annak determinánsa nem nulla (ellenkező esetben nem fordíthatja meg a mátrixot). Így találhatja meg a 2 x 2 mátrix determinánsát:
   • 2 x 2 mátrix: mátrix meghatározója ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ egyenlő ad - bc. Vagyis a főátló elemeinek szorzatából (átmegy a bal felső és a jobb alsó sarokban) vonja le a másik átló elemeinek szorzatát (átmegy a jobb felső és a bal alsó sarokban).
   • Például a mátrix meghatározója ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ egyenlő (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. A determináns nem nulla, ezért ez a mátrix megfordítható.
5. 5 Keresse meg a nagyobb mátrix determinánsát. Ha a mátrix mérete 3 x 3 vagy több, akkor a determinánst kissé nehezebb kiszámítani.
   • 3 x 3 mátrix: válasszon ki egy elemet, és húzza át a sort és az oszlopot.Keresse meg a kapott 2 × 2 mátrix determinánsát, majd szorozza meg a kiválasztott elemmel; egy speciális táblázatban adja meg a determináns előjelét. Ismételje meg ezt a folyamatot a másik két elemnél is, amelyek ugyanabban a sorban vagy oszlopban vannak, mint a kiválasztott elem. Ezután keresse meg a kapott (három) determináns összegét. Olvassa el ezt a cikket, ha további információra van szüksége a 3 x 3 mátrix determinánsának megtalálásáról.
   • Nagy mátrixok: az ilyen mátrixok meghatározóját legjobban grafikus számológéppel vagy szoftverrel lehet keresni. A módszer hasonló a 3 × 3 mátrix determinánsának megtalálására, de meglehetősen fárasztó manuálisan alkalmazni. Például egy 4 x 4 mátrix determinánsának megtalálásához meg kell találnia négy 3 x 3 mátrix determinánsát.
6. 6 Folytassa a számításokat. Ha a mátrix nem négyzet alakú, vagy ha a determinánsa nulla, akkor írja be: "nincs egyértelmű megoldás", vagyis a számítási folyamat befejeződött. Ha a mátrix négyzet alakú és nem nulla determinánst tartalmaz, ugorjon a következő szakaszra.

2. rész a 3 -ból: Az inverz mátrix megtalálása

1. 1 Cserélje ki a 2 x 2 mátrix főátlójának elemeit. Adott egy 2 × 2 mátrix, használja a gyors inverz módszert. Először cserélje fel a bal felső és a jobb alsó elemet. Például:
   • ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
   • Jegyzet: a legtöbb ember számológépekkel megfordítja a 3 x 3 (vagy nagyobb) mátrixot. Ha ezt manuálisan kell elvégeznie, ugorjon a szakasz végére.
2. 2 Ne cserélje fel a fennmaradó két elemet, hanem változtassa meg a jelüket. Vagyis megszorozzuk a jobb felső és a bal alsó elemet -1-gyel:
   • ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3. 3 Keresse meg a determináns reciprokát! Ennek a mátrixnak a determinánsát az előző részben találtuk, ezért nem fogjuk újra kiszámítani. A determináns fordítottját a következőképpen írjuk: 1 / (determináns):
   • Példánkban a determináns 13. Fordított érték: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$.
4. 4 A kapott mátrixot megszorozzuk a determináns reciprokával. Szorozzuk meg az új mátrix minden elemét a determináns inverzével. A végső mátrix az eredeti 2 x 2 mátrix inverze lesz:
   • ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
     =${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} és { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$
5. 5 Ellenőrizze, hogy a számítások helyesek -e. Ehhez szorozza meg az eredeti mátrixot az inverzével. Ha a számítások helyesek, akkor az eredeti mátrix inverz szorzata adja az azonossági mátrixot: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$... Ha a teszt sikeres volt, ugorjon a következő szakaszra.
   • Példánkban: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} és { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$.
   • Ha többet szeretne megtudni a mátrixok szaporításáról, olvassa el ezt a cikket.
   • Megjegyzés: a mátrixszorzás művelete nem kommutatív, vagyis a mátrixok sorrendje fontos. De amikor az eredeti mátrixot megszorozzuk az inverzével, minden sorrend az identitásmátrixhoz vezet.
6. 6 Keresse meg a 3 x 3 mátrix inverzét (vagy nagyobb). Ha már ismeri ezt a folyamatot, akkor jobb grafikus számológépet vagy speciális szoftvert használni. Ha manuálisan kell megtalálni az inverz mátrixot, az alábbiakban röviden leírjuk a folyamatot:
   • Csatlakoztassa az I. identitásmátrixot az eredeti mátrix jobb oldalán. Például [B] → [B | ÉN]. Az azonossági mátrix esetében a főátló összes eleme 1, az összes többi pedig 0.
   • Egyszerűsítse a mátrixot úgy, hogy a bal oldala lépcsős legyen; folytassa az egyszerűsítést, hogy a bal oldal az identitás mátrixává váljon.
   • Az egyszerűsítés után a mátrix a következő formát fogja ölteni: [I | B]. Vagyis jobb oldala az eredeti mátrix inverze.

3. rész 3: Mátrix szorzás

1. 1 Írjon le két lehetséges kifejezést! A két skalár szorzásának művelete kommutatív, azaz 2 x 6 = 6 x 2.Ez nem mátrixszorzás esetén van így, ezért két kifejezést kell megoldania:
   • x = [A] * [B] az egyenlet megoldása x[B] = [A].
   • x = [B] * [A] a [B] egyenlet megoldásax = [A].
   • Végezze el az egyes matematikai műveleteket az egyenlet mindkét oldalán. Ha [A] = [C], akkor [B] [A] ≠ [C] [B], mert [B] az [A] bal oldalán, de a [C] jobb oldalán található.
2. 2 Határozza meg a végső mátrix méretét. A végső mátrix mérete a megszorzott mátrixok méretétől függ. A végső mátrix sorainak száma megegyezik az első mátrix sorainak számával, a végső mátrix oszlopainak száma pedig a második mátrix oszlopainak számával.
   • Példánkban mindkét mátrix mérete ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ és ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} és { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$ 2 x 2, tehát az eredeti mátrix mérete 2 x 2 lesz.
   • Tekintsünk egy összetettebb példát: ha a [A] mátrix mérete 4 x 3, és a [B] mátrix mérete 3 x 3, akkor az [A] * [B] végső mátrix 4 x 3 lesz.
3. 3 Keresse meg az első elem értékét. Olvassa el ezt a cikket, vagy emlékezzen a következő alapvető lépésekre:
   • A [A] [B] végső mátrix első elemének (első sor, első oszlop) megkereséséhez számítsa ki az [A] mátrix első sorának elemeinek és a [B] első oszlop elemeinek ponttermékét. ]. 2 x 2 mátrix esetén a pontszorzatot a következőképpen kell kiszámítani: ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$.
   • Példánkban: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} és { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} és { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$... Így a végső mátrix első eleme az lesz:
     ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
     ${ displaystyle = 3 + -4}$
     ${ displaystyle = -1}$
4. 4 Folytassa a pontszámok kiszámítását, hogy megtalálja a végső mátrix egyes elemeit. Például a második sorban és az első oszlopban található elem egyenlő a mátrix [A] második sorának és a [B] első oszlopának pont szorzatával. Próbálja meg megtalálni a fennmaradó elemeket. A következő eredményeket kell kapnia:
   • ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} és { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} és { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 end {pmatrix}}}$
   • Ha más megoldást kell találnia: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} és { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 vége {pmatrix}}}$

Tippek

• A mátrix skalárra osztható; ehhez a mátrix minden elemét skalárral osztják fel.
  • Például, ha a mátrix ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ osztva 2 -vel, megkapja a mátrixot ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

Figyelmeztetések

• A számológép nem mindig ad teljesen pontos eredményt, amikor mátrixszámításról van szó. Például, ha a számológép azt állítja, hogy az elem nagyon kis szám (például 2E), akkor az érték nagy valószínűséggel nulla.

További cikkek

Hogyan szaporítsuk a mátrixokat Hogyan találjuk meg a 3x3 mátrix inverzét? Hogyan lehet megtalálni a 3X3 mátrix determinánsát Hogyan lehet megtalálni a másodfokú függvény maximumát vagy minimumát Hogyan kell kiszámítani a gyakoriságot A másodfokú egyenletek megoldása Hogyan lehet mérni a magasságot mérőszalag nélkül Hogyan lehet manuálisan megtalálni a szám négyzetgyökét Hogyan lehet millilitereket grammra alakítani? Hogyan lehet átalakítani a bináris tizedes A pi érték kiszámítása Hogyan lehet átalakítani a decimálisból bináris Hogyan kell kiszámítani a valószínűséget Hogyan lehet a perceket órákká alakítani