Hogyan számoljunk egy számot prímtényezők szorzatává

Tartalom

Lépések
Rész 1 /2: A legfontosabb tényezők megtalálása
2/2. Rész: Prímtényezők használata
Példák a feladatokra
Tippek
Figyelmeztetések

Bármilyen természetes szám felbontható a prímtényezők szorzatára. Ha nem szeret olyan nagy számokkal foglalkozni, mint az 5733, akkor tanulja meg, hogyan kell őket faktorálni (ebben az esetben 3 x 3 x 7 x 7 x 13). Hasonló feladattal gyakran találkoznak az információbiztonsági problémákkal foglalkozó kriptográfiában is. Ha még nem áll készen a saját biztonságos e -mail rendszer kiépítésére, először tanulja meg, hogyan kell figyelembe venni a számokat.

Lépések

Rész 1 /2: A legfontosabb tényezők megtalálása

1 Ismerje meg, mi a faktorálás. Egy szám bontása a tényezők szorzatába az a folyamat, amikor kisebb részekre „osztjuk”.Ha megszorozzuk, ezek a részek vagy tényezők az eredeti számot adják meg.
- Például a 18 -as szám a következő termékekre bontható: 1 x 18, 2 x 9 vagy 3 x 6.
2 Ne feledje, melyek a prímszámok. Egy prímszám csak két számmal osztható maradék nélkül: önmagában és 1 -gyel. Például az 5 -ös szám 5 és 1 szorzataként ábrázolható. Ez a szám nem bontható más tényezőkre. A szám prímtényezőkké történő számításának célja az, hogy a prímszámok szorzataként ábrázolja. Ez különösen akkor hasznos, ha törtekkel foglalkozunk, mivel lehetővé teszi azok összehasonlítását és egyszerűsítését.
3 Kezdje az eredeti számmal. Válasszon 3 -nál nagyobb összetett számot. Nincs értelme prímszámot venni, mivel csak önmagában és eggyel osztható.
- Példa: Bontsuk fel a 24 -es számot prímszámok szorzatára.
4 Osszuk ezt a számot két tényező szorzatára. Keress két kisebb számot, amelyek szorzata megegyezik az eredeti számmal. Bármilyen tényező használható, de egyszerűbb prímszámokat venni. Az egyik jó módszer az, ha megpróbáljuk elosztani az eredeti számot először 2 -gyel, majd 3 -mal, majd 5 -tel, és ellenőrizni, hogy ezek közül a prímszámok közül melyik osztja meg maradék nélkül.
- Példa: Ha nem ismeri a 24 -es tényezőket, ossza meg apró prímszámokkal. Tehát látni fogja, hogy az adott szám osztható 2: 24 = -vel 2 x 12... Ez jó kezdet.
- Mivel a 2 prímszám, jó használni, ha páros számokat számolunk.
5 Kezdje el a szorzófa építését. Ez az egyszerű eljárás segít meghatározni egy számot. Először is húzzon két "ágat" lefelé az eredeti számtól. Minden ág végén írja le a talált tényezőket.
- Példa:
- 24
- /
- 2 12
6 Számolja ki a következő számsort. Vessen egy pillantást a két új számra (a szorzófa második sora). Mindkettő prímszám? Ha az egyik nem egyszerű, akkor azt két tényezővel is figyelembe kell venni. Készítsen még két ágat, és írjon két új tényezőt a fa harmadik sorába.
- Példa: A 12 nem prímszám, ezért faktorizálni kell. Használja a 12 = 2 x 6 bontást, és írja be a fa harmadik sorába:
- 24
- /
- 2 12
- /
- 2 x 6
7 Folytassa a fát. Ha az egyik új tényező prímszámnak bizonyul, rajzoljon belőle egy „ágat”, és írja be ugyanazt a számot a végére. A prímszámok nem bővíthetők kisebb tényezőkre, ezért csak mozgassa le őket egy szinttel lejjebb.
- Példa: 2 a prím. Csak mozgassa a 2 -t a második sorból a harmadik sorba:
- 24
- /
- 2 12
- / /
- 2 2 6
8 Folytassa a számításokat, amíg csak prímszámok maradnak. Ellenőrizze a fa minden új sorát. Ha az új tényezők közül legalább az egyik nem prímszám, vegye figyelembe, és írjon egy új sort. Végül csak prímszámok maradnak.
- Példa: A 6 nem prímszám, ezért azt is faktorizálni kell. Ugyanakkor a 2 prímszám, és a kettőt átvisszük a következő szintre:
- 24
- /
- 2 12
- / /
- 2 2 6
- / / /
- 2 2 2 3
9 Írja az utolsó sort prímtényezők szorzataként. Végül csak prímszámok maradnak. Amikor ez megtörténik, az elsődleges faktorizálás befejeződött. Az utolsó sor egy prímkészlet, amelynek szorzata adja az eredeti számot.
- Ellenőrizze válaszát: szorozza meg az utolsó sorban lévő számokat. Az eredménynek az eredeti számnak kell lennie.
- Példa: A faktorfa utolsó sora a 2 -es és a 3 -as számokat tartalmazza. Mindkét szám prímszám, tehát a bontás befejeződött. Így a 24 -es prímtényező a következő formában jelenik meg: 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
- A tényezők sorrendje nem számít. A bontás 2 x 3 x 2 x 2 formátumban is írható.
10 Egyszerűsítse válaszát, ha szükséges, exponenciális jelöléssel. Ha ismeri a számok hatványozását, akkor a választ egyszerűbb formában is megírhatja.Ne feledje, hogy az alap alul van írva, és a felső index azt jelzi, hogy ezt az alapot hányszor kell megszorozni önmagával.
- Példa: hányszor fordul elő a 2 -es szám a talált bontásban 2 x 2 x 2 x 3? Háromszor, tehát a 2 x 2 x 2 kifejezés 2. -ként írható. Egyszerűsített jelölésben azt kapjuk 2 x 3.

2/2. Rész: Prímtényezők használata

1 Keresse meg két szám legnagyobb közös osztóját. A két szám legnagyobb közös osztója (GCD) az a maximális szám, amellyel mindkét szám maradék nélkül osztható. Az alábbi példa bemutatja, hogyan lehet a prímtényező segítségével megtalálni a 30 és 36 legnagyobb közös osztóját.
- Tekintsük mindkét számot prímtényezőkké. 30 esetén a faktorizáció 2 x 3 x 5. A 36 számot a következőképpen bontjuk fel prímtényezőkre: 2 x 2 x 3 x 3.
- Keresse meg a számot, amely mindkét bővítésben előfordul. Húzzuk át ezt a számot mindkét listában, és írjuk új sorba. Például a 2 két bővítésben fordul elő, ezért írunk 2 új vonalon. Ezek után van 30 = 2 x 3 x 5 és 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
- Ismételje meg ezt a lépést, amíg nem maradnak közös tényezők a bővítésekben. Mindkét lista tartalmazza a 3 -as számot is, így új sorba írhat 2 és 3... Ezután hasonlítsa össze újra a bővítéseket: 30 = ~~2 x 3~~ x 5 és 36 = 2 x 2 x 3 x 3. Mint látható, nem maradtak bennük közös tényezők.
- A legnagyobb közös tényező megtalálásához keresse meg az összes közös tényező szorzatát. Példánkban ezek 2 és 3, tehát a gcd 2 x 3 = 6... Ez a legnagyobb szám, amely egyenletesen elosztja a 30 és 36 számokat.
2 A GCD segítségével egyszerűsítheti a törteket. Ha gyanítja, hogy egy töredék törölhető, használja a legnagyobb közös tényezőt. Keresse meg a számláló és nevező GCD -jét a fenti eljárással. Ezután ossza el a tört számlálóját és nevezőjét ezzel a számmal. Ennek eredményeként ugyanazt a töredéket kapja egyszerűbb formában.
- Például egyszerűsítsük a törtet /₃₆... Amint fentebb elmondtuk, 30 és 36 esetén a GCD 6, tehát a számlálót és a nevezőt elosztjuk 6 -tal:
- 30 ÷ 6 = 5
- 36 ÷ 6 = 6
- /₃₆ = /₆
3 Keresse meg a két szám legkisebb közös többszörösét. Két szám közül a legkevésbé közös többszörös (LCM) a legkisebb szám, amely egyenletesen osztható mindkét számmal. Például a 2 -es és 3 -as LCM 6, mert ez a legkisebb szám, amely 2 -vel és 3 -mal osztható. Az alábbiakban egy példa látható az LCM megkeresésére a prímtényező segítségével:
- Kezdjük két prímtényezővel. Például a 126 -nál a faktorizálás 2 x 3 x 3 x 7 -ként írható fel. A 84 -es szám felbontható prímtényezőkre 2 x 2 x 3 x 7 -ként.
- Hasonlítsuk össze, hogy az egyes tényezők hányszor fordulnak elő a bővítésekben. Válassza ki azt a listát, ahol a szorzó többször előfordul, és karikázza be ezt a helyet. Például a 2 -es szám egyszer megjelenik a 126 -os bővítményben, és kétszer a 84 -es listában, tehát köröznie kell 2 x 2 a tényezők második listájában.
- Ismételje meg ezt a lépést minden szorzónál. Például az első bővítésben gyakoribb a 3, ezért köröznie kell benne 3 x 3... A 7 -es szám egyszer jelenik meg mindkét listában, ezért körözünk 7 (nem mindegy, hogy melyik listában, ha az adott tényező mindkét listában ugyanannyiszor fordul elő).
- Az LCM megkereséséhez szorozza meg az összes bekarikázott számot. Példánkban a 126 és 84 legkevésbé gyakori többszöröse 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252... Ez a legkisebb szám, amely maradék nélkül osztható 126 -mal és 84 -gyel.
4 Használjon LCM -t törtek hozzáadásához. Két tört hozzáadása esetén közös nevezőre kell hozni őket. Ehhez keresse meg a két nevező LCM -jét. Ezután megszorozzuk az egyes törtek számlálóját és nevezőjét olyan számmal, hogy a törtek nevezői egyenlők legyenek az LCM -mel. Ezt követően hozzáadhatja a törteket.
- Például meg kell találnia az összeget /₆ + /₂₁.
- A fenti módszerrel megtalálja az LCM -et a 6 -ra és a 21 -re. Ez 42.
- A töredéket átalakítjuk /₆ úgy, hogy a nevezője 42. Ehhez el kell osztani a 42. számot 6: 42 ÷ 6 = 7. Most megszorozzuk a tört számlálóját és nevezőjét 7: /₆ x /₇ = /₄₂.
- Ahhoz, hogy a második törtet a 42 nevezőbe hozzuk, osszuk el a 42 -et 21: 42 ÷ 21 = 2 -vel. Szorozzuk meg a tört számlálóját és nevezőjét 2 -vel: /₂₁ x /₂ = /₄₂.
- Miután a törteket azonos nevezőre redukálják, könnyen hozzáadhatók: /₄₂ + /₄₂ = /₄₂.

Példák a feladatokra

Próbáld meg magad megoldani az alábbi problémákat.Ha úgy gondolja, hogy a helyes választ kapta, jelölje ki az egérrel a kettőspont utáni helyet a problémajelentésben. Ez utóbbi feladatok a legnehezebbek.
Keresse meg a 16: 2 x 2 x 2 x 2 prímtényezőt
Válaszát exponenciális formában írja le: 2
Keresse meg a 45: 3 x 3 x 5 prímtényezőt
Írja meg válaszát exponenciális formában: 3 x 5
Keresse meg a fő tényezőt 34: 2 x 17 esetén
Keresse meg a 154 prímtényezőt: 2 x 7 x 11
Keresse meg a prímtényezőt a 8 -ra és a 40 -re, majd határozza meg a legnagyobb közös tényezőjüket: a 8 prímtényezője 2 x 2 x 2 x 2; a 40 prímtényezője 2 x 2 x 2 x 5; Két szám GCD 2 x 2 x 2 = 6.
Keresse meg a prímtényezőt a 18 -ra és az 52 -re, és keresse meg a legkisebb közös többszörösét: A 18 -as prímtényező 2 x 3 x 3; az 52 prímtényezője 2 x 2 x 13; Két szám LCM értéke 2 x 2 x 3 x 3 x 13 = 468.

Tippek

Minden számnak egyedi faktorizációs jellemzője van. Nem számít, hogyan találja meg ezt a bővítményt, ugyanazt a választ kell kapnia. Ezt nevezik az aritmetika alaptételének.
Ahelyett, hogy minden alkalommal újraírná a prímszámokat a faktorfa új sorára, hagyhatja őket a helyén, és egyszerűen bekarikázhatja őket. A bővítés végén az összes bekarikázott prímtényezőt tartalmazza.
Mindig ellenőrizze a kapott választ. Hibázhat, és nem veszi észre.
Készüljön fel a trükkös küldetésekre. Ha felkérik, hogy keressen rá egy prímszám prímtényezőre, nincs szükség semmilyen számításra. Például a 17 -es számnál a prímtényező 17; ez a szám nem bontható más prímtényezőkre.
A legnagyobb közös tényező és a legkevésbé közös többszörös megtalálható három vagy több szám esetén.