Tartalom

• Lépések

A trigonometriai egyenlet az "x" változó (vagy bármely más változó) egy vagy több trigonometriai függvényét tartalmazza. A trigonometriai egyenlet megoldása olyan "x" érték megtalálása, amely kielégíti a funkciót és az egyenletet egészében.

• A trigonometriai egyenletek megoldásait fokban vagy radiánban fejezzük ki. Példák:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 fok; x = 37,12 fok; x = 178,37 fok.

• Megjegyzés: a trigonometrikus függvények értékei szögekből radiánban kifejezve és szögekből, fokban kifejezve egyenlők. Egy eggyel egyenlő sugarú trigonometrikus kört használnak a trigonometriai függvények leírására, valamint az alapvető trigonometriai egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásának helyességének ellenőrzésére.
• Példák trigonometriai egyenletekre:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Egy sugaras trigonometrikus kör (egységkör).
   • Ez egy kör, amelynek sugara egy, és középpontja az O pont. Az egységkör az "x" változó 4 alapvető trigonometrikus függvényét írja le, ahol "x" az X tengely pozitív irányától az óramutató járásával ellentétes irányban mért szög.
   • Ha az "x" valamilyen szög az egységkörön, akkor:
   • Az OAx vízszintes tengely az F (x) = cos x függvényt határozza meg.
   • Az OBy függőleges tengely határozza meg az F (x) = sin x függvényt.
   • Az AT függőleges tengely határozza meg az F (x) = tan x függvényt.
   • A BU vízszintes tengely határozza meg az F (x) = ctg x függvényt.

• Az egységkört alapvető trigonometriai egyenletek és egyenlőtlenségek megoldására is használják (az "x" különböző pozícióit veszik figyelembe rajta).

Lépések

1. 1 A trigonometriai egyenletek megoldásának fogalma.
   • A trigonometriai egyenlet megoldásához konvertálja azt egy vagy több alapvető trigonometriai egyenletre. A trigonometriai egyenlet megoldása végül négy alapvető trigonometriai egyenlet megoldásához vezet.
2. 2 Az alapvető trigonometriai egyenletek megoldása.
   • Az alapvető trigonometriai egyenleteknek 4 típusa létezik:
   • sin x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • Az alapvető trigonometriai egyenletek megoldása magában foglalja az egységkör különböző x pozícióinak megtekintését és egy konverziós táblázat (vagy számológép) használatát.
   • 1. példa x x = 0,866. Egy konverziós táblázat (vagy számológép) segítségével megkapja a választ: x = π / 3. Az egységkör újabb választ ad: 2π / 3. Ne feledje: minden trigonometriai függvény periodikus, vagyis értékei ismétlődnek. Például sin x és cos x periodicitása 2πn, tg x és ctg x periodicitása pedig πn. Ezért a válasz a következőképpen íródott:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • 2. példa. X x = -1/2. Egy konverziós táblázat (vagy számológép) segítségével megkapja a választ: x = 2π / 3. Az egységkör újabb választ ad: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • Példa 3. tg (x - π / 4) = 0.
   • Válasz: x = π / 4 + πn.
   • 4. példa ctg 2x = 1,732.
   • Válasz: x = π / 12 + πn.
3. 3 A trigonometriai egyenletek megoldásához használt transzformációk.
   • A trigonometriai egyenletek átalakításához algebrai transzformációkat (faktorizálás, homogén kifejezések redukciója stb.) És trigonometrikus azonosságokat használnak.
   • 5. példa A trigonometriai azonosságok használatával a sin x + sin 2x + sin 3x = 0 egyenletet a 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. egyenletbe alakítjuk át. oldja meg a következő alapvető trigonometriai egyenleteket: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 Szögek keresése a függvények ismert értékeiből.
   • Mielőtt megtanulná a trigonometriai egyenletek megoldására szolgáló módszereket, meg kell tanulnia, hogyan kell szögeket találni a függvények ismert értékeiből. Ezt konverziós táblázat vagy számológép segítségével teheti meg.
   • Példa: cos x = 0,732. A számológép megadja a választ x = 42,95 fok. Az egységkör további szögeket ad, amelyek koszinuszának értéke szintén 0,732.
5. 5 Tegye félre az oldatot az egységkörön.
   • A megoldásokat az egységkörön a trigonometriai egyenletre halaszthatja. Az egységkörön lévő trigonometriai egyenlet megoldásai egy szabályos sokszög csúcsai.
   • Példa: Az egységkörön lévő x = π / 3 + πn / 2 megoldások egy négyzet csúcsai.
   • Példa: Az egységkörön lévő x = π / 4 + πn / 3 megoldások egy szabályos hatszög csúcsait jelentik.
6. 6 Módszerek trigonometriai egyenletek megoldására.
   • Ha egy adott trig egyenlet csak egy trig függvényt tartalmaz, oldja meg ezt az egyenletet alap triggegyenletként.Ha egy adott egyenlet két vagy több trigonometrikus függvényt tartalmaz, akkor 2 módszer létezik az ilyen egyenlet megoldására (az átalakítás lehetőségétől függően).
     • 1. módszer
   • Ezt az egyenletet alakítsa át a következő alakú egyenletre: f (x) * g (x) * h (x) = 0, ahol f (x), g (x), h (x) az alapvető trigonometriai egyenletek.
     
     
   • Példa 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • Megoldás. A sin 2x = 2 * sin x * cos x kettős szögű képlet használatával cserélje ki a sin 2x.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Most oldja meg a két alapvető trigonometriai egyenletet: cos x = 0 és (sin x + 1) = 0.
   • 7. példa. Cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • Megoldás: A trigonometrikus azonosságok használatával alakítsa át ezt az egyenletet a következő alakú egyenletbe: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Most oldja meg a két alapvető trigonometriai egyenletet: cos 2x = 0 és (2cos x + 1) = 0.
   • 8. példa. X x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • Megoldás: A trigonometrikus azonosságok használatával alakítsa át ezt az egyenletet a következő alakú egyenletbe: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Most oldja meg a két alapvető trigonometriai egyenletet: cos 2x = 0 és (2sin x + 1) = 0.
     • 2. módszer.
   • Alakítsa át az adott trigonometriai egyenletet csak egy trigonometrikus függvényt tartalmazó egyenletbe. Ezután cserélje ki ezt a trigonometrikus függvényt valamilyen ismeretlennel, például t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t stb.).
   • Példa 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • Megoldás. Ebben az egyenletben cserélje le a (cos ^ 2 x) kifejezést az (1 - sin ^ 2 x) kifejezéssel (identitással). A transzformált egyenlet a következő:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Cserélje ki a sin x t értékre. Az egyenlet most így néz ki: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Ez másodfokú egyenlet, két gyökkel: t1 = -1 és t2 = 9/5. A t2 második gyök nem felel meg a függvény értéktartományának (-1 sin x 1). Most döntse el: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • Példa 10. tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • Megoldás. Cserélje le a tg x t értékre. Írja át az eredeti egyenletet a következőképpen: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Most keresse meg t, majd keressen x -et t = tg x esetén.
7. 7 Speciális trigonometriai egyenletek.
   • Számos speciális trigonometriai egyenlet létezik, amelyek speciális átalakításokat igényelnek. Példák:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 A trigonometrikus függvények periodicitása.
   • Amint azt korábban említettük, minden trigonometriai függvény periodikus, azaz értékei megismétlődnek egy bizonyos időszak után. Példák:
     • Az f (x) = sin x függvény periódusa 2π.
     • Az f (x) = tan x függvény periódusa egyenlő π -vel.
     • Az f (x) = sin 2x függvény periódusa π.
     • Az f (x) = cos (x / 2) függvény periódusa 4π.
   • Ha a feladatban meg van adva az időszak, akkor számítsa ki az "x" értéket ezen az időszakon belül.
   • Megjegyzés: A trigonometriai egyenletek megoldása nem könnyű feladat, és gyakran hibákhoz vezet. Tehát gondosan ellenőrizze a válaszokat. Ehhez grafikus számológéppel ábrázolhatja az adott R (x) = 0 egyenletet. Ilyen esetekben a megoldások tizedes törtként jelennek meg (azaz π helyére a 3.14 lép).