Tartalom

• Lépések
• Rész 1 /2: Az alapok
• 2/2. Rész: Bővített mátrix átalakítás SLAE -k megoldására
• Tippek

Az egyenletrendszer két vagy több egyenlet halmaza, amelyek közös ismeretlen halmazokkal, és ezért közös megoldással rendelkeznek. A lineáris egyenletrendszer grafikonja két egyenes, és a rendszer megoldása ezen egyenesek metszéspontja. Az ilyen lineáris egyenletrendszerek megoldásához hasznos és kényelmes a mátrixok használata.

Lépések

Rész 1 /2: Az alapok

1. 1 Terminológia. A lineáris egyenletrendszerek különböző összetevőkből állnak. A változót ábécé karakter jelöli (általában x vagy y), és olyan számot jelent, amelyet még nem ismer és meg kell találnia. Az állandó egy bizonyos szám, amely nem változtatja meg értékét.Az együttható a változó előtti szám, vagyis az a szám, amellyel a változót megszorozzuk.
   • Például egy lineáris egyenlethez 2x + 4y = 8, x és y változók, 8 állandó, a 2 és 4 számok együtthatók.
2. 2 Lineáris egyenletrendszer űrlapja. Egy lineáris algebrai egyenletrendszer (SLAE) két változóval a következőképpen írható fel: ax + by = p, cx + dy = q. Bármely konstans (p, q) lehet nulla, de minden egyenletnek tartalmaznia kell legalább egy változót (x, y).
3. 3 Mátrix kifejezések. Bármely SLAE írható mátrix formában, majd a mátrixok algebrai tulajdonságait felhasználva oldja meg. Amikor egyenletrendszert ír mátrix formában, A a mátrix együtthatóit, C állandó mátrixokat, X pedig ismeretlen mátrixot jelent.
   • Például a fenti SLAE átírható a következő mátrix formában: A x X = C.
4. 4 Bővített mátrix. A kiterjesztett mátrixot úgy kapjuk meg, hogy a szabad kifejezések (állandók) mátrixát átvisszük a bal oldalra. Ha két mátrixa van, az A és a C, akkor a kibontott mátrix így fog kinézni:
   • Például a következő lineáris egyenletrendszerhez:
     2x + 4y = 8
     x + y = 2
     A kibővített mátrix 2x3 lesz, és így néz ki:

2/2. Rész: Bővített mátrix átalakítás SLAE -k megoldására

1. 1 Elemi műveletek. Bizonyos műveleteket elvégezhet egy mátrixon, így megkaphatja az eredetivel egyenértékű mátrixot. Az ilyen műveleteket eleminek nevezzük. Például egy 2x3 -as mátrix megoldásához sorműveleteket kell végrehajtania a mátrix háromszög alakúvá alakításához. Ilyen műveletek lehetnek:
   • két sor permutációja.
   • egy karakterlánc megszorzása nullától eltérő számmal.
   • megszorozzuk a karakterláncot és hozzáadjuk egy másikhoz.
2. 2 A második sor szorzása nullától eltérő számmal. Ha a második sorban nullát szeretne, akkor megszorozhatja a sort, hogy ez lehetséges legyen.
   • Például, ha van egy ilyen mátrixa:
     
     
     Megtarthatja az első sort, és ezzel nullát kaphat a második sorban. Ehhez először meg kell szorozni a második sort 2 -vel:
3. 3 Szorozz újra. Ha az első sorban nullát szeretne kapni, előfordulhat, hogy ismét szoroznia kell hasonló manipulációk használatával.
   • A fenti példában meg kell szorozni a második sort -1 -gyel:
     
     
     Szorzás után a mátrix így fog kinézni:
4. 4 Adja hozzá az első sort a másodikhoz. Adja hozzá a sorokat, hogy nullát kapjon az első oszlop és a második sor helyett.
   • Példánkban adja hozzá mindkét sort, hogy megkapja a következőket:
5. 5 Írjon egy új lineáris egyenletrendszert egy háromszög mátrixhoz! Ha megvan a háromszög alakú mátrix, visszatérhet az SLAE -hez. A mátrix első oszlopa az ismeretlen x változónak, a második pedig az ismeretlen y változónak felel meg. A harmadik oszlop az egyenlet metszetének felel meg.
   • Példánkban az új lineáris egyenletrendszer a következő formában jelenik meg:
6. 6 Oldja meg az egyik változó egyenletét! Az új SLAE -ben határozza meg, melyik változót a legkönnyebb megtalálni és megoldani az egyenletet.
   • Példánkban kényelmesebb a végétől, azaz az utolsó egyenlettől az elsőig megoldani, alulról felfelé haladva. A második egyenletből könnyen találhatunk megoldást y -ra, hiszen megszabadultunk x -től, tehát y = 2.
7. 7 Keresse meg a második ismeretlenet helyettesítési módszerrel. Miután megtalálta az egyik változót, csatlakoztathatja azt a második egyenlethez, és megkeresi a második változót.
   • Példánkban csak cserélje le y -t 2 -vel az első egyenletben, hogy megtalálja az ismeretlen x -et:

Tippek

• A mátrix elemeket általában skalároknak nevezik.
• A 2x3 mátrix megoldásához elemi sorműveleteket kell végrehajtania. Ezeket a műveleteket nem végezheti el az oszlopokon.