Számítsa ki a kocka gyökereit kézzel

Tartalom

Lépni
1. rész a 3-ból: Példa feladat kidolgozása
2/3 rész: A kocka gyökérének megkeresése ismételt becsléssel
Tippek
Figyelmeztetések
Szükségletek

Számológéppel bármely szám kocka gyökérének kiszámítása nem több, mint néhány billentyű lenyomása. De lehet, hogy nincs számológépe, vagy szeretné lenyűgözni a barátait azzal a képességével, hogy szabadkézi kocka gyökeret tud kidolgozni. Van olyan módszer, amely első ránézésre kissé keménynek tűnik, de kis gyakorlással nagyon egyszerűen működik. Hasznos, ha van némi kész ismerete a számtani készségek és a köbszámok kiszámításának területén.

Lépni

1. rész a 3-ból: Példa feladat kidolgozása

Fogalmazza meg a problémát. Egy szám kocka gyökérének megoldása hosszú osztás megoldásához fog hasonlítani, némi eltéréssel itt-ott. Az első lépés az állítás helyes leírása.
- Írja fel azt a számot, amelynek kocka gyökerét meg akarja határozni. Írja a számokat három fős csoportokba, a vesszővel kezdve. Ebben a példában meg fogja határozni a 10 kocka gyökerét. Írja ezt 10.000000-ra. A nullákra a válasz pontosságához van szükség.
- Rajzoljon egy kocka négyzetgyököt a szám fölé. Ez ugyanazt a célt szolgálja, mint a hosszú osztás esetén a zsinór. Az egyetlen különbség a szimbólum alakja.
- Helyezzen vesszőt a vonal fölé, közvetlenül az vessző fölé az eredeti számban.
Ismerje az egységek kockáit. Ezeket fogja használni a számításai során. A következő harmadik hatásköröket érinti:
- 13=1∗1∗1=1{ displaystyle 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}Határozza meg a válasz első számjegyét. Válasszon ki egy számot, amely a kocka számára a lehető legnagyobb eredményt adja, amely kisebb, mint a három szám első halmaza.
  - Ebben a példában a három szám első szorzata, szorozva, egyenlő 10. Keresse meg a legnagyobb kockát, amely kevesebb, mint 10. Ez 8, és a kocka gyökere 2.
  - Írja a 2-es számot a négyzetgyök fölé, a 10-es fölé. Írja le a 23{ displaystyle 2 ^ {3}}Végezze el a következő számjegy beállítását. Írja be a következő három számból álló csoportot a többibe, és rajzoljon egy rövid függőleges vonalat a kapott számtól balra. Ez lesz az a szám, amellyel meghatározzuk a következő számjegyet a kocka gyökér megoldásában. Ebben a példában ez lesz 2000, amely az előző kivonási összeg fennmaradó 2. részéből jön létre, a három nullából álló csoporttal.
    - A függőleges vonaltól balra írja be a következő osztó megoldását három külön szám összegeként. Jelölje meg ezeknek a számoknak az üres helyeit, három üres folt aláhúzásával, alatta pluszjelekkel.
  - Keresse meg a következő osztó kezdetét. Az osztó első részére írjon háromszázszor négyzetet annak, ami a négyzetgyök jel felett van. Ebben az esetben 2; 2 ^ 2 értéke 4, és 4 * 300 = 1200. Tehát írja az 1200-at az első üres helyre. A megoldás ezen lépésének osztója 1200 lesz, plusz valami más, amit egy pillanat alatt kiszámol.
  - Keresse meg a következő számot a kocka gyökerében. Keresse meg a megoldás következő számjegyét úgy, hogy kiválasztja, amit meg lehet szorozni az osztóval (1200-as valami más), majd kivonja 2000 hátralévő részéből. Ez csak 1 lehet, mert az 1200 kétszerese 2400-nak felel meg, ami nagyobb, mint 2000 Írja az 1-es számot a négyzetgyök jel fölötti következő helyre.
  - Keresse meg az osztó fennmaradó részét. A megoldás e lépésében az osztó három részből áll. Az első rész a már meglévő 1200. Az osztó teljesítéséhez most még két kifejezést kell hozzáadnia.
    - Most számítsa ki a megoldás két számjegyének háromszorosát, tízszeresét a négyzetgyök jel felett. Ennél az egyszerű gyakorlatnál ez 3 * 10 * 2 * 1 -et jelent, ami egyenlő 60-zal. Adja hozzá ezt a már meglévő 1200-hoz, és 1260-at kap.
    - Végül adja hozzá az utolsó számjegy négyzetét. Ebben a példában ez 1; és 1 ^ 2 még mindig 1. Tehát a teljes osztó 1200 + 60 + 1, vagy 1261. Írja ezt a függőleges vonal balra.
  - Szorozzuk és vonjuk ki. A megoldás ezen részét kerekítse úgy, hogy megszorozza a megoldás utolsó számjegyét - ebben az esetben az 1. számot - az imént kiszámított osztó szorzatával (1261). 1 * 1261 = 1261. Írja ezt 2000 alá, és vonja le 1261-et, hogy 739-et kapjon.
  - Döntse el, hogy tovább megy a pontosabb válaszért. Az egyes lépések kivonásának befejezése után ellenőriznie kell, hogy a válasza elég pontos-e. A 10-es kocka gyökérnél az első mínusz összeg után a kocka gyökere csak 2 volt, ami nem igazán pontos. Most, a második forduló után a megoldás 2.1.
    - A kocka segítségével ellenőrizheti ennek az eredménynek a pontosságát: 2.1 * 2.1 * 2.1. Az eredmény 9,261.
    - Ha úgy gondolja, hogy az eredmény elég pontos, akkor abbahagyhatja. Ha pontosabb választ szeretne, akkor egy újabb kört kell átélnie.
  - Határozza meg az osztót a következő körre. Ebben az esetben a gyakorlás és a pontosabb válasz érdekében ismételje meg a lépéseket egy másik fordulóban, az alábbiak szerint:
    - Hozza le a következő három számból álló csoportot. Ebben az esetben ez három nulla, amelyek a fennmaradó 739 után jönnek, és 739 000-et alkotnak.
    - Kezdje az osztót a négyzetgyök előjel fölötti szám számának négyzetével. Ez 300∗212{ displaystyle 300 * 21 ^ {2}}Szorozzuk meg az osztót az eredménnyel. Miután kiszámolta az osztót ebben a következő körben, és kibővítette a megoldást még egy számjeggyel, a következőképpen járjon el:
      - Szorozza meg az osztót a megoldás utolsó számjegyével. 135,475 * 5 = 677,375.
      - Kivonás. 739 000–677 375 = 61 625.
      - Fontolja meg, hogy a 2.15 megoldás elég pontos-e. Számolja ki a kockát, és megkapja ${ displaystyle 2.15 * 2.15 * 2.15 = 9.94}$ Írja le a végleges választ. A négyzetgyök fölötti eredmény a kocka gyökere, három jelentős számjegy pontossággal. Ebben a példában a 10 kockaköve 2,15. Ezt ellenőrizze a 2.15 ^ 3 = 9.94 kiszámításával, amelyet fel lehet kerekíteni 10-re. Ha pontosabb válaszra van szüksége, folytassa ezt addig, amíg meg nem elégedett.

2/3 rész: A kocka gyökérének megkeresése ismételt becsléssel

Köbös számokkal állítsa be a felső és az alsó határértéket. Amikor egy adott szám kocka gyökerét kéri, kezdje azzal, hogy olyan kockát választ, amely a lehető legközelebb van hozzá, anélkül, hogy nagyobb lenne, mint a megcélzott szám.
- Például, ha meg akarja találni a 600-as kocka gyökerét, ne feledje (vagy használjon kocka-kockát) 83=512{ displaystyle 8 ^ {3} = 512}Becsülje meg a következő számjegyet. Bizonyos köbös számok ismerete révén törli az első számjegyet. A következő számjegy esetében becsüljön meg egy 0 és 9 közötti számot annak alapján, hogy a célszám hol esik a két határszám közé.
  - A példaproblémában 600 (a megcélzott szám) körülbelül félúton esik az 512 és 729 határszámok közé. Tehát az 5-öt választja a következő számnak.
- Tesztelje becslését annak kocka meghatározásával. Szorozza meg a becslést, amellyel éppen dolgozik, hogy megtudja, milyen közel áll a célszámhoz.
  - Ebben a példában szaporodik 8,5∗8,5∗8,5=614,1.{ displaystyle 8.5 * 8.5 * 8.5 = 614.1.}Szükség szerint módosítsa a becslést. Miután felemelte a legújabb találgatás kockájára, ellenőrizze az eredményt a célszámmal. Ha az eredmény nagyobb, mint a cél, akkor becslésének kisebbnek kell lennie. Ha az eredmény kevesebb, mint a cél, akkor felfelé kell állítania, amíg el nem éri a célt.
    - Például ebben a nyilatkozatban 8,53{ displaystyle 8.5 ^ {3}}Becsülje meg a következő számjegyet a pontosabb válasz érdekében. Folytassa ezt a számbecslési eljárást 0-tól 9-ig, amíg a válasza nem lesz olyan pontos, amennyire csak szeretné. Minden becslési forduló előtt kezdje azzal, hogy ellenőrizze az utolsó számítás helyét a határszámok között.
      - Ebben a példapéldában az utolsó számítási kör ezt mutatja ${ displaystyle 8.4 ^ {3} = 592.7}$ Folytassa a becslést és a beállítást. Tegye ezt annyiszor, ahányszor szükséges, emelje meg a kitalálását köbös teljesítményre, és nézze meg, hogy viszonyul a célszámhoz. Keressen olyan számokat, amelyek közvetlenül a célszám alatt vagy alatt vannak.
        Ebben a példa gyakorlatban azzal kezdi, hogy megjegyzi ${ displaystyle 8.44 * 8.44 * 8.44 = 601.2}$ Addig folytassa, amíg el nem éri a kívánt pontosságot. Folytassa a becslést, az összehasonlítást és az újbecslést mindaddig, amíg szükséges, amíg a megoldása nem lesz olyan pontos, amennyit csak akar. Ne feledje, hogy minden tizedesjegyig a célszámok egyre közelebb kerülnek a tényleges számhoz.
        A 600-as kocka gyökér esetében két tizedes számot feltételezve, 8,43-al kevesebb mint 1 távolságra van a célszámtól. Ha három tizedesjegyig halad, akkor ezt látni fogja ${ displaystyle 8.434 ^ {3} = 599.93}$ Tekintse át Newton binomiumját. Annak megértéséhez, hogy ez az algoritmus miért működik a kocka gyökereinek meghatározásában, először vissza kell gondolnia arra, hogy a kocka binomiálisnak néz ki. Valószínűleg ezt tanultad a középiskolai matematikában (és valószínűleg a legtöbb emberhez hasonlóan hamar megfeledkeztél erről). Válasszon két változót ${ displaystyle A}$ Írja meg a binomiált köb alakban. Most hátrafelé haladunk: először meghatározzuk a kockát, majd megnézzük, miért működik a kocka gyökéroldata. Szükségünk van a ${ displaystyle (10A + B) ^ {3}}$ Ismerje a hosszú megosztottság jelentését. Ne feledje, hogy a kocka gyökér módszer ugyanúgy működik, mint a hosszú osztás. Hosszú felosztásban azt látja, hogy két tényező szorozva adja meg a kezdő számot. Ebben a számításban a keresett szám (az a szám, amely végül megjelenik a négyzetgyök felett) a kocka gyökere. Ez azt jelenti, hogy megegyezik a (10A + B) kifejezéssel. A tényleges A és B immár lényegtelen, mindaddig, amíg megérted a válasszal való kapcsolatot.
        Tekintse meg a kibővített verziót. Ha Newton binomiumát nézi, láthatja, hogy a kocka gyökér algoritmus miért helyes. Nézze meg, hogy az algoritmus minden lépésében az osztó megegyezik a kiszámítandó és hozzáadandó négy kifejezés összegével. Ezek a feltételek a következőképpen merülnek fel:
        Az első tag 1000-szeres többszöröst tartalmaz. Először választ egy olyan számot, amelyet fel lehet emelni a kockára, és továbbra is a hosszú osztás tartományában marad az első szám. Ez megadja a binomiálban az 1000A ^ 3 kifejezést.
        Newton binomiuma második tagjának együtthatója 300. (Ez származik ${ displaystyle 3 * 10 ^ {2}}$ Az órás pontosság nő. Hosszú felosztás kidolgozása során minden egyes lépésed nagy pontosságot ad a válaszodnak. Például az ebben a cikkben alkalmazott példa probléma a 10 kocka gyökér meghatározására szolgál. Az első lépésben a megoldás 2, mert ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ közel jön, de kevesebb, mint 10. Valójában ez tart ${ displaystyle 2 ^ {3} = 8}$ . A második forduló után a megoldása 2.1. Ha ezt megoldotta, megkapja ${ displaystyle 2.1 ^ {3} = 9,261}$ , amely sokkal közelebb áll a kívánt eredményhez (10). A harmadik forduló után 2,15 van, ami megadja ${ displaystyle 2.15 ^ {3} = 9.94}$ . Dolgozzon tovább három számból álló csoportokban, és a lehető legpontosabb választ kapja.

Tippek

Mint bármi más, a matematikai készségek is javulnak a gyakorlással. Minél többet gyakorol, annál jobban képes lesz elvégezni az ilyen típusú számításokat.