Tartalom

• Lépni
• Tippek

Grafikonként lásd a másodfokú egyenletet ax + bx + c , amelyet szintén így írnak a (x - h) + k, úgy néz ki, mint egy sima görbe U alakban. Ezt hívjuk parabola. A másodfokú egyenlet ábrázolása magában foglalja a csúcs, az irány és gyakran az x tengely és az y tengely metszéspontjának megtalálását. A viszonylag egyszerű másodfokú egyenlet esetében az is lehet elegendő, hogy x-hez számos értéket adjon meg, hogy jelezze ezeket a pontokat a koordináta-rendszerben, ami után megrajzolható a parabola. A kezdéshez folytassa az 1. lépéssel.

Lépni

1. Határozza meg, hogy milyen másodfokú egyenlete van. Kétféleképpen írható: a standard jelöléssel és a csúcs jelöléssel (a négyzetgyök képlet másik megírásának módja). Használhatja mindkettőt a másodfokú egyenlet grafikonjának létrehozásához, de a folyamat minden esetben kissé eltér. Leggyakrabban a szokásos alakzattal találkozik, de biztosan nem árt megtanulnia mindkét alakzat használatát. A másodfokú egyenlet két formája:
   • A szokásos forma. A másodfokú egyenletet a következőképpen jegyezzük meg: f (x) = ax + bx + c, ahol a, b és c valós számok és a nem egyenlő nullával.
     • Két példa a standard másodfokú egyenletekre: f (x) = x + 2x + 1 és f (x) = 9x + 10x -8.
   • A csúcs alakja. A másodfokú egyenletet a következőképpen jegyezzük meg: f (x) = a (x - h) + k, ahol a, h és k valós számok, és a nem egyenlő nullával. Ezt az alakot csúcsnak nevezzük, mert h és k közvetlenül a parabola tetejére utalnak (h, k) pontban.
     • Két példa a csúcsalakú egyenletekre: f (x) = 9 (x - 4) + 18 és -3 (x - 5) + 1
   • Ezen egyenletek grafikonjának elkészítéséhez először meghatározzuk a grafikon tetejét (h, k). A standard egyenletben ezt megtalálja: h = -b / 2a és k = f (h), míg ezt már csúcsként adjuk meg, mert h és k fordulnak elő az egyenletben.
2. Határozza meg a változókat. A másodfokú egyenlet megoldásához általában meg kell határozni az a, b és c (vagy a, h és k) változókat. Egy rendszeres gyakorlat egy második fokozatú egyenletet ad a szokásos formában, de előfordulhat a csúcsjelölés is.
   • Például: az f (x) = 2x + 16x + 39 szokásos függvény. Itt van a = 2, b = 16 és c = 39.
   • Csúcsjelzésben: f (x) = 4 (x - 5) + 12. Itt van a = 4, h = 5 és k = 12.
3. Számítsa ki h-t. A csúcsjelölésben a h értéke már meg van adva, de a standard jelölésben ezt az értéket még ki kell számolni. Ne feledje, hogy a szokásos egyenlettel: h = -b / 2a.
   • 1. példa (f (x) = 2x + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Ennek megoldásával látjuk, hogy h = -4.
   • 2. példa (f (x) = 4 (x - 5) + 12), azonnal látjuk, hogy h = 5.
4. Számítsa ki a k ​​értéket. Ahogy h, a k-t már a csúcsalakú egyenletekből ismerjük. A szokásos jelölésekben szereplő egyenleteknél ne feledje, hogy k = f (h). Más szavakkal, k megtalálható, ha bármelyik x változót h értékre cseréljük.
   • Láttuk például, hogy h = -4. A k megtalálásához ezt az egyenletet úgy oldjuk meg, hogy kitöltjük h értékét az egyenletben az x változóra:
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • A 2. példából tudjuk, hogy k értéke 12, számítás nélkül.
5. Rajzolja meg a grafikon tetejét vagy alját. A parabola csúcsa vagy völgye a pont (h, k) - h az x koordinátát, k pedig az y koordinátát jelenti. A csúcs a parabola középpontja - egy "U" formában vagy fordítva egy grafikon legmagasabb vagy legalacsonyabb pontja, a csúcs vagy a völgy.A parabola tetejének meghatározása elengedhetetlen része a helyes gráf megrajzolásának - a parabola tetejének meghatározása gyakran az iskolai matematikai probléma része.
   • Az 1. példában a grafikon teteje (-4.7). Rajzolja a pontot a grafikonjára, és győződjön meg róla, hogy a koordinátákat helyesen nevezte el.
   • A 2. példában a teteje (5.12). Tehát a (0,0) ponttól 5 helyet megy jobbra, majd felfelé 12.
6. Ha szükséges, rajzolja meg a parabola szimmetriatengelyét. A parabola szimmetriatengelye az a vonal, amely metszi a figurát középen, pontosan felére osztva. A grafikon egyik oldala ezen a vonalon tükröződik a grafikon másik oldalán. Az ax + bx + c vagy a (x - h) + k másodfokú egyenleteiben ez a tengely az y tengellyel párhuzamos vonal, amely áthalad a parabola csúcsán.
   • Az 1. példa esetében a szimmetriatengely az y tengellyel párhuzamos egyenes, amely áthalad a ponton (-4,7). Bár ez nem része a parabolának, ennek az irányelvnek a könnyed kiemelése megmutatja, mennyire szimmetrikus a parabola görbe.
7. Határozza meg a parabola irányát. Miután megtudta, mi a parabola teteje, tudnia kell, hogy hegyi vagy völgyi parabolával van-e dolga, vagyis hogy a nyílás alul vagy felül van-e. Szerencsére ez nagyon egyszerű. Ha az "a" pozitív, akkor völgyi parabolával van dolgod; ha az "a" negatív, akkor egy hegyi parabola (alul a nyílással)
   • Az 1. példában az (f (x) = 2x + 16x + 39) függvénnyel foglalkozunk, tehát ez egy völgyi parabola, mert a = 2 (pozitív).
   • A 2. példában az f (x) = 4 (x - 5) + 12) függvénnyel foglalkozunk, és ez szintén völgyi parabola, mert a = 4 (pozitív).
8. Szükség esetén határozza meg a parabola metszéspontjait. Gyakran, amikor egy matematikai feladatot kérnek megadni a parabola és az x tengely metszéspontját (ezek "nulla", a vagy kettő pontok, ahol a parabola metszi vagy eléri az x tengelyt). Még ha nem is kérik, ezek a pontok nagyon fontosak ahhoz, hogy pontos grafikont tudjunk készíteni. De nem minden parabolának van metszéspontja az x tengellyel. Ha völgyparabolával van dolgod, és a völgypont az x tengely felett van, vagy hegyi parabola esetén éppen az x tengely alatt van, akkor egyszerűen nem találhatók metszéspontok. Ha igen, használja a következő módszerek egyikét:
   • Határozza meg, hogy f (x) = 0, és oldja meg az egyenletet. Ez a módszer működhet egyszerű másodfokú egyenleteknél, különösen a csúcs formában, de azt fogja tapasztalni, hogy ez a funkciók bonyolultabbá válásával egyre nehezebbé válik. Az alábbiakban bemutatunk néhány példát.
     • f (x) = 4 (x - 12)
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • SqRt (1) = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. x = 11 és 13 a parabola x tengelyével való metszéspontok.
   • Tényezzük az egyenletet. Néhány ax + bx + c alakú egyenlet könnyen átírható (dx + e) ​​(fx + g) formában, ahol dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx és e × g = c. Ebben az esetben az x metszéspontok azok az x értékek, ahol a zárójelben lévő egyes tagok 0-val egyenlővé válnak. Például:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • Ebben az esetben a metszéspont -1, mert mindkét tényezőbe beírva ez nulla.
   • Használja az abc képletet. Ha nem könnyű kitalálni a metszéspontokat, vagy az egyenletet faktorizálni, használja kifejezetten erre a célra az "abc képletet". Tegyük fel, hogy ax + bx + c alakban egyenlet van. Ezután írja be az a, b és c értékeit az x = (-b +/- SqRt (b - 4ac)) / 2a képletbe. Vegye figyelembe, hogy ez gyakran két választ ad az x-re, ami rendben van - ez csak azt jelenti, hogy a parabolájának két metszéspontja van az x tengellyel. Íme egy példa:
     • Írja be az -5x + 1x + 10 értéket az egyenletbe a következő módon:
     • x = (-1 +/- SqRt (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14,18) / - 10
     • x = (13,18 / -10) és (-15,18 / -10). A parabola és az x tengely metszéspontjai megközelítőleg x = -1,318 és 1,518
     • Mint az 1. példában a 2x + 16x + 39 egyenlettel, ez így fog kinézni:
     • x = (-16 +/- SqRt (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
     • Mivel a negatív szám négyzetgyökét nem lehet megtalálni, tudjuk, hogy ennél a parabolánál nincsenek metszéspontok az x tengellyel.
9. Szükség esetén határozza meg a parabola és az Y tengely metszéspontját. Gyakran nem szükséges, de néha meg kell találni ezt a kereszteződést, például matematikai feladat esetén. Ez meglehetősen egyszerű - állítsa az x értékét 0-ra, és oldja meg az f (x) vagy y egyenletet, amely megadja a pont y értékét, ahol a parabola metszi az y tengelyt. Az x tengelyen átívelő metszéspontokkal az a különbség, hogy az y tengelynél mindig csak egy metszéspont van. Megjegyzés - standard egyenletekkel az y tengellyel való metszéspont y = c.
   • Például tudjuk, hogy a 2x + 16x + 39 másodfokú egyenletünk metszéspontja y = 39, de ezt a következőképpen is megtalálhatjuk:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39. A parabola metszése az y tengellyel: y = 39. Mint fentebb jeleztük, könnyen leolvashatjuk a metszéspontot, mert y = c.
   • A 4 (x - 5) + 12 egyenlet metszi az y tengelyt, amely a következőképpen található:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0-5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112. Az y tengellyel való metszéspont: y = 112.
10. Ha úgy gondolja, hogy erre szükség van, először húzzon extra pontokat, majd az egész grafikont. Most kell egy csúcs vagy egy völgy, egy irány, metszéspontok az x tengellyel és esetleg az egyenleted y tengelyével. Innentől kezdve megpróbálhatja megrajzolni a parabolát ezeken a pontokon, vagy megpróbálhat további pontokat találni a grafikon pontosabbá tétele érdekében. Ennek legegyszerűbb módja egyszerűen annyi x érték megadása, amely számos y értéket ad vissza. Mielőtt elkezdené rajzolni a parabolát, gyakran (a tanártól) meg kell kérnie, hogy számoljon ki több pontot.
    • Vessünk egy újabb pillantást az x + 2x + 1 egyenletre. Már tudjuk, hogy az x tengellyel való egyetlen metszéspont (-1,0). Mivel ezen a ponton csak az x tengelyt érinti, arra következtethetünk, hogy a grafikon teteje megegyezik ezzel a ponttal. Eddig csak egy pontja van ennek a parabolának - közel sem elég ahhoz, hogy grafikont rajzoljunk. Keressünk még néhány pontot, hogy megbizonyosodjunk arról, hogy több értékünk van-e.
      • Próbáljuk megkeresni az y értékeket, amelyek megfelelnek a következő x értékeknek: 0, 1, -2 és -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Ezután a pont (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Ezután a pont (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Ezután a pont (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Ezután a pont (-3,4).
      • Helyezze ezeket a pontokat a grafikonba, és rajzolja meg a paraboláját. Ne feledje, hogy a parabola teljesen szimmetrikus - ha ismeri a grafikon egyik oldalán lévő pontokat, akkor általában sok munkát spórolhat meg magának, ha ezeket a pontokat felhasználva megtalálja a szimmetriatengely másik oldalán lévő pontokat.

Tippek

• Szükség esetén kerekítsen számokat, vagy használjon törtrészeket. Ez segíthet a diagram megfelelő megjelenítésében.
• Vegye figyelembe, hogy ha az f (x) = ax + bx + c, b vagy c függvény nulla, akkor ezek a kifejezések eltűnnek. Például 12x + 0x + 6 egyenlővé válik 12x + 6-tal, mert 0x egyenlő 0-val.