Hogyan lehet megtalálni a függvény tartományát és tartományát

Tartalom

Lépések
Rész 1 /3: Funkció tartományának megkeresése
2. rész a 3 -ból: A másodfokú függvény tartományának megkeresése
Rész 3 /3: Funkció tartományának meghatározása a grafikonja segítségével

Minden függvénynek két változója van - a független változó és a függő változó, amelyek értékei a független változó értékeitől függenek. Például a függvényben y = f(x) = 2x + y a független változó x, a függő változó pedig y (más szóval y az x függvénye). Az "x" független változó érvényes értékeit a függvény tartományának, az "y" függő változó érvényes értékeit pedig a függvény tartományának nevezzük.

Lépések

Rész 1 /3: Funkció tartományának megkeresése

1 Határozza meg a kapott funkció típusát. A függvény értéktartománya az "x" megengedett értéke (a vízszintes tengely mentén ábrázolva), amely megfelel az "y" megengedett értékének. A függvény másodfokú lehet, vagy törteket vagy gyökereket tartalmazhat. A függvény tartományának megtalálásához először meg kell határoznia a függvény típusát.
- A másodfokú függvény: ax + bx + c: f (x) = 2x + 3x + 4
- Egy törtet tartalmazó függvény: f (x) = (/_x), f (x) = /_{(x - 1)} (stb).
- Gyökeret tartalmazó függvény: f (x) = √x, f (x) = √ (x + 1), f (x) = √-x (és így tovább).
2 Válassza ki a funkció bejegyzésének megfelelő bejegyzést. A hatókör négyzetbe és / vagy zárójelbe van írva. A szögletes zárójelet akkor kell használni, ha az érték egy funkció körébe tartozik; ha az érték nincs a hatókörben, zárójelet kell használni. Ha a függvénynek több, nem összefüggő definíciós tartománya van, akkor az "U" szimbólum kerül közéjük.
- Például a [-2,10) U (10,2] tartomány tartalmazza a -2 és 2 értékeket, de nem tartalmazza a 10 értéket.
- A zárójeleket mindig a végtelen ∞ szimbólummal kell használni.
3 Ábrázoljon másodfokú függvényt! Az ilyen függvény grafikonja egy parabola, amelynek ágai felfelé vagy lefelé irányulnak. Mivel a parabola az egész X tengelyen növekszik vagy csökken, a másodfokú függvény tartománya minden valós szám. Más szóval, egy ilyen függvény tartománya az R halmaz (R minden valós számot jelöl).
- A függvény fogalmának jobb megértése érdekében válassza ki az "x" tetszőleges értékét, cserélje ki a függvénybe, és keresse meg az "y" értéket. Az "x" és "y" értékpár az (x, y) koordinátájú pontot jelenti, amely a függvény grafikonján található.
- Rajzolja le ezt a pontot a koordinátasíkra, és kövesse a leírt folyamatot egy másik "x" értékkel.
- Ha több pontot rajzol a koordinátasíkon, akkor általános képet kap a függvénygráf alakjáról.
4 Ha a függvény törtet tartalmaz, állítsa a nevezőjét nullára. Ne feledje, hogy nem lehet osztani nullával. Ezért, ha a nevezőt nullával egyenlítjük ki, olyan értékeket találunk az "x" -hez, amelyek nem tartoznak a függvény hatókörébe.
- Például keresse meg az f (x) = / függvény tartományát_{(x - 1)}.
- Itt a nevező (x - 1).
- Tegyük egyenlővé a nevezőt nullával, és keressük az "x" -t: x - 1 = 0; x = 1.
- Írja le a függvény hatókörét. A tartomány nem tartalmaz 1-et, azaz minden valós számot tartalmaz, kivéve az 1-et. Így a függvény tartománya: (-∞, 1) U (1, ∞).
- A (-∞, 1) U (1, ∞) jelölés így hangzik: az összes kivételével minden valós szám halmaza. Az ∞ végtelen szimbólum minden valós számot jelent. Példánkban minden 1 -nél nagyobb és 1 -nél kisebb valós szám szerepel a hatókörben.
5 Ha a függvény négyzetgyököt tartalmaz, akkor a radikális kifejezésnek nullánál nagyobbnak vagy egyenlőnek kell lennie. Ne feledje, hogy a negatív számok négyzetgyökét nem vonjuk ki. Ezért minden olyan "x" értéket, amelynél a radikális kifejezés negatív lesz, ki kell zárni a függvény hatóköréből.
- Például keresse meg az f (x) = √ (x + 3) függvény tartományát.
- A radikális kifejezés: (x + 3).
- A radikális kifejezésnek nullánál nagyobbnak vagy egyenlőnek kell lennie: (x + 3) ≥ 0.
- Keresse meg az "x" -t: x ≥ -3.
- Ennek a függvénynek a hatóköre magában foglalja az összes valós szám halmazát, amely nagyobb vagy egyenlő, mint -3. Így a tartomány [-3, ∞).

2. rész a 3 -ból: A másodfokú függvény tartományának megkeresése

1 Győződjön meg arról, hogy másodfokú függvényt kapott. A másodfokú függvény alakja: ax + bx + c: f (x) = 2x + 3x + 4. Egy ilyen függvény grafikonja egy parabola, amelynek ágai felfelé vagy lefelé irányulnak. A másodfokú függvény értéktartományának megkeresésére különféle módszerek léteznek.
- A legegyszerűbb módja annak, hogy megtalálja a gyök- vagy törtfüggvény tartományát, ha grafikon segítségével ábrázolja a függvényt.
2 Keresse meg a függvénygráf csúcsának x-koordinátáját. Másodfokú függvény esetén keressük meg a parabola csúcsának x-koordinátáját. Ne feledje, hogy a másodfokú függvény: ax + bx + c. Az x -koordináta kiszámításához használja a következő egyenletet: x = -b / 2a. Ez az egyenlet az alapvető másodfokú függvény származéka, és olyan érintőt ír le, amelynek meredeksége nulla (a parabola csúcsának érintője párhuzamos az X tengelyével).
- Például keresse meg a 3x + 6x -2 függvény tartományát.
- Számítsa ki a parabola csúcsának x -koordinátáját: x = -b / 2a = -6 / (2 * 3) = -1
3 Keresse meg a függvénygráf csúcsának y-koordinátáját. Ehhez helyettesítse a talált "x" koordinátát a függvénybe. A keresett "y" koordináta a függvény értéktartományának határértéke.
- Számítsa ki az y -koordinátát: y = 3x + 6x -2 = 3 (-1) + 6 (-1) -2 = -5
- Ennek a függvénynek a parabola csúcsának koordinátái (-1, -5).
4 Határozza meg a parabola irányát úgy, hogy legalább egy x értéket behelyettesít a függvénybe. Válasszon bármely más x értéket, és csatlakoztassa a függvényhez a megfelelő y érték kiszámításához. Ha a talált "y" érték nagyobb, mint a parabola csúcsának "y" koordinátája, akkor a parabola felfelé irányul. Ha a talált "y" érték kisebb, mint a parabola csúcsának "y" koordinátája, akkor a parabola lefelé irányul.
- Az x = -2 helyettesítő a függvényben: y = 3x + 6x -2 = y = 3 (-2) + 6 (-2) -2 = 12 -12 -2 = -2.
- A parabola pontjának koordinátái (-2, -2).
- A talált koordináták azt mutatják, hogy a parabola ágai felfelé irányulnak. Így a függvénytartomány tartalmazza az összes y értéket, amelyek nagyobbak vagy egyenlőek -5 -nél.
- Ennek a függvénynek az értéktartománya: [-5, ∞)
5 A függvény értéktartománya ugyanúgy íródik, mint a függvény definíciós tartománya. A szögletes zárójelet akkor kell használni, ha az érték a függvény tartományában van; ha az érték nincs a tartományban, zárójelet kell használni. Ha a függvénynek több nem összefüggő értéktartománya van, akkor az "U" szimbólum kerül közéjük.
- Például a [-2,10) U (10,2] tartomány tartalmazza a -2 és 2 értékeket, de nem tartalmazza a 10 értéket.
- A zárójeleket mindig a végtelen ∞ szimbólummal kell használni.

Rész 3 /3: Funkció tartományának meghatározása a grafikonja segítségével

1 Ábrázolja a függvényt. Sok esetben könnyebb megtalálni a függvény értéktartományát a grafikon ábrázolásával. Sok gyökérfüggvény értéktartománya (-∞, 0] vagy [0, + ∞), mivel a parabola jobbra vagy balra irányított csúcsa az X tengelyen található. , a tartomány tartalmazza az "y" összes pozitív értékét, ha a parabola növekszik, vagy minden negatív y értéket, ha a parabola csökken. A törtfüggvények aszimptotákkal rendelkeznek, amelyek meghatározzák tartományukat.
- Egyes függvények gyökerekkel rendelkező gráfjainak csúcsai az X tengely felett vagy alatt helyezkednek el, ebben az esetben az értéktartományt a parabolacsúcs „y” koordinátája határozza meg. Ha például egy parabola csúcsának "y" koordinátája -4 (y = -4), és a parabola növekszik, akkor az értéktartomány [-4, + ∞).
- A függvény grafikonjának legegyszerűbb módja grafikus számológép vagy speciális szoftver használata.
- Ha nincs grafikus számológépe, hozzon létre egy durva grafikont úgy, hogy több x értéket csatlakoztat a függvényhez, és kiszámítja a megfelelő y értékeket. Ábrázolja a talált pontokat a koordinátasíkon, hogy általános képet kapjon a gráf alakjáról.
2 Keresse meg a függvény minimumát. Amikor egy függvényt ábrázol, látni fogja azt a pontot, ahol a függvény minimális értékkel rendelkezik.Ha nincs nyilvánvaló minimum, akkor nem létezik, és a függvény grafikonja -∞ -ra megy.
- A függvény értéktartománya tartalmazza az "y" összes értékét, kivéve az aszimptoták értékeit. Gyakran az ilyen függvények értéktartományait a következőképpen írják fel: (-∞, 6) U (6, ∞).
3 Határozza meg a függvény maximumát. Miután felrajzolt egy függvényt, látni fogja azt a pontot, ahol a függvény maximális értéke van. Ha nincs nyilvánvaló maximum, akkor nem létezik, és a függvény grafikonja + ∞ -ra megy.
4 A függvény értéktartománya ugyanúgy íródik, mint a függvény definíciós tartománya. A szögletes zárójelet akkor kell használni, ha az érték a függvény tartományában van; ha az érték nincs a tartományban, zárójelet kell használni. Ha a függvénynek több nem összefüggő értéktartománya van, akkor az "U" szimbólum kerül közéjük.
- Például a [-2,10) U (10,2] tartomány tartalmazza a -2 és 2 értékeket, de nem tartalmazza a 10 értéket.
- A zárójeleket mindig a végtelen ∞ szimbólummal kell használni.