Tartalom

• Előzetes információk
• Lépések
• Rész 1 /3: Az alapok
• 2. rész a 3 -ból: A Laplace -transzformáció tulajdonságai
• Rész 3 /3: A Laplace -transzformáció megtalálása sorozatbővítés szerint

A Laplace transzformáció egy integrált transzformáció, amelyet állandó együtthatójú differenciálegyenletek megoldására használnak. Ezt az átalakítást széles körben használják a fizikában és a mérnöki tudományban.

Bár használhatja a megfelelő táblázatokat, hasznos megérteni a Laplace -transzformációt, hogy szükség esetén maga is megtehesse.

Előzetes információk

• Adott egy funkció ${ displaystyle f (t)}$számára meghatározott ${ displaystyle t geq 0.}$ Azután Laplace -transzformáció funkció ${ displaystyle f (t)}$ az egyes értékek következő függvénye ${ displaystyle s}$, amelynél az integrál konvergál:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• A Laplace-transzformáció a t-régiótól (időskála) függvényt vesz át az s-régióba (transzformációs régió), ahol ${ displaystyle F (s)}$ egy komplex változó komplex függvénye. Lehetővé teszi a funkció áthelyezését egy olyan területre, ahol a megoldás könnyebben megtalálható.
• Nyilvánvaló, hogy a Laplace -transzformáció lineáris operátor, tehát ha kifejezések összegével van dolgunk, minden integrált külön lehet kiszámítani.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Ne feledje, hogy a Laplace -transzformáció csak akkor működik, ha az integrál konvergál. Ha a függvény ${ displaystyle f (t)}$ megszakításokkal rendelkezik, óvatosnak kell lenni, és helyesen kell beállítani az integráció határait a bizonytalanság elkerülése érdekében.

Lépések

Rész 1 /3: Az alapok

1. 1 Helyettesítse be a függvényt a Laplace -transzformációs képletbe. Elméletileg a függvény Laplace -transzformációja nagyon könnyen kiszámítható. Példaként tekintsük a függvényt ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, ahol ${ displaystyle a}$ egy komplex állandó a ${ displaystyle operatornév {Re} (s) operatornév {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Becsülje meg az integrált a rendelkezésre álló módszerek segítségével. Példánkban a becslés nagyon egyszerű, és egyszerű számításokkal megúszhatja. Bonyolultabb esetekben bonyolultabb módszerekre lehet szükség, például részek szerinti integrációra vagy az integráljel alá történő differenciálásra. Korlátozott állapot ${ displaystyle operatornév {Re} (s) operatornév {Re} (a)}$ azt jelenti, hogy az integrál konvergál, vagyis értéke 0 -ra hajlik ${ displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {igazítva}}}$
   • Megjegyezzük, hogy ez kétféle Laplace -transzformációt ad nekünk, szinusz és koszinusz, mivel Euler képletének megfelelően ${ displaystyle e ^ {iat}}$... Ebben az esetben a nevezőben kapjuk ${ displaystyle s-ia,}$ és már csak a valódi és képzelt részek meghatározása maradt. Az eredményt közvetlenül is értékelheti, de ez egy kicsit tovább tartana.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatornév {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatornév {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Tekintsük egy hatványfüggvény Laplace -transzformációját. Először meg kell határoznia a hatványfüggvény átalakítását, mivel a linearitás tulajdonság lehetővé teszi, hogy megtalálja a transzformációt mindenböl polinomok. A forma függvénye ${ displaystyle t ^ {n},}$ ahol ${ displaystyle n}$ - bármilyen pozitív egész szám. Darabonként integrálható a rekurzív szabály meghatározásához.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { matematikai {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Ezt az eredményt implicit módon fejezzük ki, de ha több értéket helyettesítünk ${ displaystyle n,}$ létrehozhat egy bizonyos mintát (próbálja meg saját maga csinálni), amely lehetővé teszi a következő eredmény elérését:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • A gamma függvénnyel definiálhatja a töredékhatások Laplace -transzformációját is. Például ily módon megtalálható egy olyan függvény transzformációja, mint a ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2 s { sqrt {s}}}}}$
   • Bár töredékhatású függvényeknek vágásokkal kell rendelkezniük (ne feledjük, minden összetett szám ${ displaystyle z}$ és ${ displaystyle alpha}$ úgy írható ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, mert a ${ displaystyle e ^ { alpha operatornév {Napló} z}}$), akkor mindig úgy definiálhatók, hogy a vágások a bal félsíkon feküdjenek, és így elkerülhetők legyenek az elemzési problémák.

2. rész a 3 -ból: A Laplace -transzformáció tulajdonságai

1. 1 Keressük meg a függvény Laplace -transzformációját szorozva eat{ displaystyle e ^ {at}}. Az előző részben kapott eredmények lehetővé tették számunkra, hogy megtudjuk a Laplace -transzformáció néhány érdekes tulajdonságát. A függvények, mint például a koszinusz, a szinusz és az exponenciális függvény Laplace -transzformációja egyszerűbbnek tűnik, mint a hatványfüggvény -transzformáció. Szorzás ${ displaystyle e ^ {at}}$ a t-régióban megfelel váltás az s-régióban:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Ez a tulajdonság azonnal lehetővé teszi, hogy megtalálja a függvények transzformációját, mint pl ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, az integrál kiszámítása nélkül:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Keressük meg a függvény Laplace -transzformációját szorozva tn{ displaystyle t ^ {n}}. Először is fontolja meg a szorzást ${ displaystyle t}$... Értelemszerűen meg lehet különböztetni egy függvényt egy integrál alatt, és meglepően egyszerű eredményt kaphatunk:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { részleges}} e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {aligned}}}$
   • Ezt a műveletet megismételve kapjuk a végeredményt:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Bár az integráció és a differenciálás operátorainak átrendezése további indokolást igényel, ezt itt nem mutatjuk be, hanem csak azt jegyezzük meg, hogy ez a művelet akkor helyes, ha a végeredménynek van értelme. Azt is figyelembe veheti, hogy a változók ${ displaystyle s}$ és ${ displaystyle t}$ ne függjenek egymástól.
   • Ennek a szabálynak a használatával könnyen megtalálható az olyan függvények transzformációja, mint pl ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, részenkénti újraintegrálás nélkül:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Keresse meg a függvény Laplace -transzformációját f(at){ displaystyle f (at)}. Ezt könnyen megteheti, ha a változót u -val helyettesíti egy transzformáció definíciójával:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F bal ({ frac {s} {a}} jobb) end {aligned}}}$
   • Fentebb megtaláltuk a függvények Laplace -transzformációját ${ displaystyle sin at}$ és ${ displaystyle cos at}$ közvetlenül az exponenciális függvényből. Ennek a tulajdonságnak a használatával ugyanazt az eredményt kaphatja, ha megtalálja a valódi és képzelt részeket ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Keresse meg a derivált Laplace -transzformációját f′(t){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. Az előző példákkal ellentétben ebben az esetben kell darabonként integrálni:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Nagy _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {igazítva}}}$
   • Mivel a második derivált sok fizikai problémában fordul elő, megtaláljuk a Laplace -transzformációt is:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • Általános esetben az n. Rendű derivált Laplace -transzformációját a következőképpen határozzuk meg (ez lehetővé teszi a differenciálegyenletek megoldását a Laplace -transzformáció használatával):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n -1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Rész 3 /3: A Laplace -transzformáció megtalálása sorozatbővítés szerint

1. 1 Keressük meg a Laplace -transzformációt egy periodikus függvényhez. A periodikus függvény kielégíti a feltételt ${ displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ ahol ${ displaystyle T}$ a függvény időszaka, és ${ displaystyle n}$ pozitív egész szám. Az időszakos funkciókat széles körben használják számos alkalmazásban, beleértve a jelfeldolgozást és az elektrotechnikát. Egyszerű átalakítással a következő eredményt kapjuk:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = összeg _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = összeg _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = összeg _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { igazítva}}}$
   • Mint látható, periodikus függvény esetén elegendő a Laplace -transzformációt egy periódusra elvégezni.
2. 2 Végezze el a Laplace -transzformációt a természetes logaritmushoz. Ebben az esetben az integrál nem fejezhető ki elemi függvények formájában. A gamma funkció és annak sorozatbővítése lehetővé teszi a természetes logaritmus és annak fokának becslését. Az Euler-Mascheroni állandó jelenléte ${ displaystyle gamma}$ azt mutatja, hogy ennek az integrálnak a becsléséhez soros bővítést kell alkalmazni.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Tekintsük a nem normalizált sinc függvény Laplace -transzformációját. Funkció ${ displaystyle operatornév {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ széles körben használják a jelfeldolgozásban, differenciálegyenletekben egyenértékű az első típusú gömb alakú Bessel -függvénnyel és nulla rendű ${ displaystyle j_ {0} (x).}$ Ennek a függvénynek a Laplace -transzformációja szintén nem számítható ki standard módszerekkel. Ebben az esetben a sorozat egyes tagjainak átalakítása, amelyek teljesítményfüggvények, végrehajtásra kerülnek, így átalakításaik szükségszerűen egy adott időközönként konvergálnak.
   • Először a funkció kibővítését írjuk egy Taylor sorozatba:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Most egy hatványfüggvény már ismert Laplace -transzformációját használjuk. A faktoriálisokat törlik, és ennek eredményeként megkapjuk a Taylor -bővítményt az arctangenshez, vagyis egy váltakozó sorozatot, amely hasonlít a Taylor -sorozathoz a szinusz esetében, de faktoriálisok nélkül:
     • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {igazítva}}}$