Tartalom

• Lépések
• Módszer 1 /3: Hogyan lehet megtalálni az ismeretlen oldalt
• 2. módszer a 3 -ból: Ismeretlen szög keresése
• 3. módszer 3 -ból: Mintaproblémák
• Tippek

A koszinusz tételt széles körben használják a trigonometriában. Szabálytalan háromszögekkel végzett munka során ismeretlen mennyiségek, például oldalak és szögek megkeresésére használják. A tétel hasonló a Pitagorasz -tételhez, és meglehetősen könnyen megjegyezhető. A koszinusz -tétel azt mondja, hogy bármely háromszögben ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

Lépések

Módszer 1 /3: Hogyan lehet megtalálni az ismeretlen oldalt

1. 1 Írja le az ismert értékeket. A háromszög ismeretlen oldalának megtalálásához ismernie kell a másik két oldalt és a köztük lévő szöget.
   • Például adott egy XYZ háromszög. Az YX oldala 5 cm, az YZ oldala 9 cm, az Y szög pedig 89 °. Mi az XZ oldala?
2. 2 Írja le a koszinusz -tétel képletét! Képlet: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, ahol ${ displaystyle c}$ - ismeretlen fél, ${ displaystyle cos {C}}$ - az ismeretlen oldallal szemközti szög koszinusza, ${ displaystyle a}$ és ${ displaystyle b}$ - két jól ismert oldal.
3. 3 Csatlakoztassa az ismert értékeket a képlethez. Változók ${ displaystyle a}$ és ${ displaystyle b}$ két ismert oldalt jelölnek. Változó ${ displaystyle C}$ az oldalak közötti ismert szög ${ displaystyle a}$ és ${ displaystyle b}$.
   • Példánkban az XZ oldal ismeretlen, ezért a képletben ezt jelölik ${ displaystyle c}$... Mivel az YX és YZ oldalak ismertek, ezeket a változók jelölik ${ displaystyle a}$ és ${ displaystyle b}$... Változó ${ displaystyle C}$ az Y szög. Tehát a képletet a következőképpen írjuk fel: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 Keresse meg egy ismert szög koszinuszát. Csináld egy számológéppel. Adjon meg egy szögértéket, majd kattintson a gombra ${ displaystyle COS}$... Ha nincs tudományos számológépe, keressen például egy online koszinusz táblázatot. A Yandexben is megadhatja az "X fok koszinuszát" (helyettesítse az X szögértékét), és a keresőmotor megjeleníti a szög koszinuszát.
   • Például a koszinusz 89 ° ≈ 0,01745. Így: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0,01745)}$.
5. 5 Szorozzuk meg a számokat. Szorozz ${ displaystyle 2ab}$ ismert szög koszinuszával.
   • Például:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0,01745)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1,5707}$
6. 6 Hajtsa be az ismert oldalak négyzeteit. Ne felejtsük el, hogy ha négyzetet szeretnénk négyzetbe tenni, azt önmagával kell megszorozni. Először négyzetezze be a megfelelő számokat, majd adja hozzá a kapott értékeket.
   • Például:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1,5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1,5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1,5707}$
7. 7 Vonjon le két számot. Meg fogod találni ${ displaystyle c ^ {2}}$.
   • Például:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1,5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 Vegyük ennek az értéknek a négyzetgyökét. Ehhez használjon számológépet. Így találja meg az ismeretlen oldalt.
   • Például:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ displaystyle c = 10.2191}$
     Tehát az ismeretlen oldal 10,2191 cm.

2. módszer a 3 -ból: Ismeretlen szög keresése

1. 1 Írja le az ismert értékeket. A háromszög ismeretlen szögének megtalálásához ismernie kell a háromszög mindhárom oldalát.
   • Például adott egy RST háromszög. Oldal CP = 8 cm, ST = 10 cm, PT = 12 cm. Keresse meg az S szög értékét.
2. 2 Írja le a koszinusz -tétel képletét! Képlet: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, ahol ${ displaystyle cos {C}}$ - ismeretlen szögű koszinusz, ${ displaystyle c}$ - ismert oldal egy ismeretlen sarokkal szemben, ${ displaystyle a}$ és ${ displaystyle b}$ - két másik híres párt.
3. 3 Keresse meg az értékeket a{ displaystyle a}, b{ displaystyle b} és c{ displaystyle c}. Ezután csatlakoztassa őket a képlethez.
   • Például az RT oldal szemben van az ismeretlen S szöggel, tehát az RT oldal ${ displaystyle c}$ a képletben. Más pártok fognak ${ displaystyle a}$ és ${ displaystyle b}$... Tehát a képletet a következőképpen írjuk le: ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 Szorozzuk meg a számokat. Szorozz ${ displaystyle 2ab}$ az ismeretlen szög koszinuszával.
   • Például, ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 Egyenesen c{ displaystyle c} egy téren. Vagyis szorozza meg magát a számot.
   • Például, ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 Hajtsa be a négyzeteket a{ displaystyle a} és b{ displaystyle b}. De először négyzetezze be a megfelelő számokat.
   • Például:
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 Izolálja az ismeretlen szög koszinuszát. Ehhez vonja le az összeget ${ displaystyle a ^ {2}}$ és ${ displaystyle b ^ {2}}$ az egyenlet mindkét oldaláról. Ezután ossza el az egyenlet mindkét oldalát az ismeretlen szög koszinuszának tényezőjével.
   • Például egy ismeretlen szög koszinuszának elkülönítéséhez vonja le a 164 -et az egyenlet mindkét oldaláról, majd ossza el mindkét oldalt -160 -mal:
     ${ displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ displaystyle 0.125 = cos {C}}$
8. 8 Számítsa ki az inverz koszinuszt! Ez megtalálja az ismeretlen szög értékét. A számológépen az inverz koszinuszfüggvény van jelölve ${ displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • Például a 0,0125 arccozine 82,8192. Tehát az S szög 82,8192 °.

3. módszer 3 -ból: Mintaproblémák

1. 1 Keresse meg a háromszög ismeretlen oldalát. Az ismert oldalak 20 cm és 17 cm, a szög közöttük 68 °.
   • Mivel két oldala és a köztük lévő szög van megadva, használhatja a koszinusz tételt. Írja le a képletet: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Az ismeretlen oldal az ${ displaystyle c}$... Csatlakoztassa az ismert értékeket a képlethez: ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • Kiszámítja ${ displaystyle c ^ {2}}$, figyelembe véve a matematikai műveletek sorrendjét:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0,3746)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 434.2675}$
   • Vegyük az egyenlet mindkét oldalának négyzetgyökét. Így találja meg az ismeretlen oldalt:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ displaystyle c = 20.8391}$
     Tehát az ismeretlen oldal 20,8391 cm.
2. 2 Keresse meg a G szöget a GHI háromszögben. A H sarokkal szomszédos két oldal 22 és 16 cm, a H sarokkal szembeni oldal 13 cm.
   • Mivel mindhárom oldal adott, a koszinusz -tétel használható. Írja le a képletet: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Az ismeretlen sarokkal szemközti oldal az ${ displaystyle c}$... Csatlakoztassa az ismert értékeket a képlethez: ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • Egyszerűsítse a kapott kifejezést:
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • A koszinusz elkülönítése:
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • Keresse meg az inverz koszinuszt. Így számíthatja ki az ismeretlen szöget:
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {- 1}}$.
     Így a H szög 35,7985 °.
3. 3 Keresse meg a nyomvonal hosszát. A folyó, a dombos és a mocsári ösvény háromszöget alkot. A River Trail hossza 3 km, a dombos ösvény hossza 5 km; ezek a nyomvonalak 135 ° -os szögben metszik egymást. A mocsárút összeköti a többi ösvény két végét. Keresse meg a Mocsárút hosszát.
   • A pályák háromszöget alkotnak. Meg kell találnia az ismeretlen út hosszát, amely a háromszög oldala. Mivel a másik két út hossza és a köztük lévő szög megadva, a koszinusz -tétel használható.
   • Írja le a képletet: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Az ismeretlen utat (Mocsár) jelöli ${ displaystyle c}$... Csatlakoztassa az ismert értékeket a képlethez: ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • Kiszámítja ${ displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) ( - 0,7071)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - ( - 21.2132)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 55.2132}$
   • Vegyük az egyenlet mindkét oldalának négyzetgyökét. Így találhatja meg az ismeretlen út hosszát:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ displaystyle c = 7.4306}$
     Tehát a Mocsárút hossza 7,4306 km.

Tippek

• Könnyebb használni a szinusz tételt. Ezért először derítse ki, hogy alkalmazható -e az adott problémára.