Tartalom

• Lépni
• 3. Módszer: Első egyszerű feladat
• 2/3 módszer: Egy adott eredmény várható értékének kiszámítása
• 3/3-as módszer: A koncepció megértése
• Tippek
• Szükségletek

Az elvárás értéke statisztikai kifejezés, és egy fogalom, amelyet arra használnak, hogy eldöntsék, mennyire hasznos vagy káros egy cselekvés. A várható érték kiszámításához jól meg kell érteni az adott helyzet egyes eredményeit és az azokhoz kapcsolódó valószínűségeket, vagy annak valószínűségét, hogy egy adott eredmény bekövetkezik. Az alábbi lépések néhány gyakorlatot tartalmaznak, amelyek segítenek megérteni a várakozási érték fogalmát.

Lépni

3. Módszer: Első egyszerű feladat

1. Olvassa el a nyilatkozatot. Mielőtt elkezdené gondolni az összes lehetséges kimenetet és valószínűséget, fontos, hogy megértse a problémát. Például egy kockajáték, amelynek ára 10 € játékonként. A hatszögletű kockát egyszer gurítják, és a nyereménye a dobott számtól függ. Ha egy 6-os dobott, akkor 30 eurót nyer; egy ötös 20 eurót keres; bármely más szám nem ad semmit.
2. Sorolja fel az összes lehetséges eredményt. Segít felsorolni az összes lehetséges eredményt egy adott helyzetben. A fenti példában 6 lehetséges eredmény létezik. Ezek: (1) dobj 1-et és veszítesz 10 dollárt, (2) dobj 2-t és veszítesz 10 dollárt, (3) dobol egy 3-at és veszítesz 10 dollárt, (4) dobol 4-et és veszítesz 10 dollárt , (5) dobjon egy 5-öt és nyerjen 10 dollárt, (6) dobjon egy 6-ot és nyerjen 20 dollárt.
   • Ne feledje, hogy minden eredmény 10 euróval kevesebb, mint a fent leírt, mivel először 10 eurót kell fizetnie játékonként, függetlenül az eredménytől.
3. Határozza meg az egyes eredmények valószínűségét. Ebben az esetben bármely 6 eredmény valószínűsége megegyezik. A véletlenszám gurulásának valószínűsége 1: 6. Ennek megkönnyítése érdekében a számológép segítségével tizedes formában megírjuk a (1/6) törtet: 0,167. Írja ezt a valószínűséget az egyes eredmények mellé, különösen, ha az egyes eredményekhez különböző valószínűséggel kíván megoldani egy problémát.
   • Az 1/6-os számológépe olyasmit készíthet, mint a 1666667. Ezt kerekítjük 0,167-re, hogy a pontosság feláldozása nélkül könnyebb legyen kiszámítani.
   • Ha nagyon pontos eredményt szeretne, ne tegye tizedessé, hanem írja be a képletbe 1/6-ot, és számolja ki a számológépén.
4. Jegyezze fel az egyes eredmények értékét. Szorozzuk meg az eredmény dollárát annak valószínűségével, hogy az eredmény bekövetkezik annak kiszámításához, hogy az eredmény mekkora összeggel járul hozzá a várható értékhez. Például az 1 gurításának eredménye - $ 10, az 1 gurításának valószínűsége pedig 0,167. Az 1-es dobás értéke tehát (-10) * (0,167).
   • Most nem kell ezeket az eredményeket kiszámítani, ha van olyan számológépe, amely egyszerre több műveletet képes végrehajtani. Pontosabb eredményt kap, ha beírja a teljes egyenletet.
5. Adja hozzá az egyes eredmények értékét, hogy megkapja az esemény várható értékét. A fenti példa folytatásaként a kockajáték várható értéke: (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (10 * 0,167) + (20 * 0,167), vagy - 1,67 €. Tehát arra számíthat, hogy 1,67 dollárt veszít minden alkalommal ezen a játékon (játékonként).
6. Milyen következményekkel jár a várható érték kiszámítása. A fenti példában megállapítottuk, hogy a várható nyereség (veszteség) - 1,67 € dobásonként. Ez lehetetlen eredmény 1 játéknál; 10 eurót elveszíthet, 10 eurót vagy 20 eurót nyerhet. De hosszú távon a várható érték hasznos, átlagos valószínűség. Ha továbbra is ezt a játékot játssza, akkor átlagosan játékonként körülbelül 1,67 USD-t veszít. A várható értékre való gondolkodás másik módja az, ha bizonyos költségeket (vagy előnyöket) rendelünk a játékhoz; csak akkor kell játszani ezt a játékot, ha megéri, élvezze annyit, hogy minden alkalommal 1,67 dollárt költsön rá.
   • Minél gyakrabban ismétlődik meg egy helyzet, annál pontosabban tükrözi a várható érték a tényleges, átlagos eredményt. Például talán egymás után ötször játssza a játékot, és minden alkalommal veszít, ami átlagosan 10 dolláros veszteséget eredményez. Ha azonban még 1000-szer játszik, akkor az átlagos eredmény egyre közelebb kerül a várható - 1,67 € / játék értékhez. Ezt az elvet "nagy számok törvényének" nevezik.

2/3 módszer: Egy adott eredmény várható értékének kiszámítása

1. Ezzel a módszerrel kiszámíthatja az érmék átlagos számát, amelyet meg kell fordítania, mielőtt egy adott minta bekövetkezne. Például használhatja a módszert arra, hogy megtudja, milyen érmék várhatóan átfordulnak, amíg egymás után kétszer nem lesz feje. Ez a probléma kicsit bonyolultabb, mint a várakozási értékekkel kapcsolatos szokásos probléma, ezért először olvassa el a cikk fenti részét, ha nem ismeri a várakozási érték fogalmát.
2. Tegyük fel, hogy x értéket keresünk. Megpróbálja meghatározni, hogy átlagosan hány érmét kell megfordítania, hogy egymás után két fejet kapjon. Most összehasonlítást végzünk, hogy megtaláljuk a választ. X-nek hívjuk a keresett választ. Lépésről lépésre elvégezzük a szükséges összehasonlítást. Jelenleg a következők vannak:
   • x = ___
3. Gondoljon bele, mi történik, ha az első flip érmét állít elő. Ez az esetek felében így lesz. Ha ez a helyzet, akkor "elpazarolt" egy átfordulást, miközben az a lehetőség, hogy egymás után kétszer fejet tekerjen, nem változott. Mint az érmefeldobásnál, várhatóan átlagosan többször kell dobnia, mielőtt egymás után kétszer kapna fejet. Más szavakkal, azt várhatja, hogy x-ször dob, plusz azokat, amelyeket már játszott. Egyenlet formájában:
   • x = (0,5) (x + 1) + ___
   • Ki fogjuk tölteni az üres helyet, miközben tovább gondolkodunk más helyzeteken.
   • Törvényeket használhat tizedesjegy helyett, ha ez könnyebb vagy szükséges.
4. Gondoljon bele, mi történik, ha bedobja a fejét. 0,5 (vagy 1/2) esély van arra, hogy először dobjon egy csészét. Ez úgy tűnik, hogy közelebb kerül ahhoz a célhoz, hogy kétszer egymás után fejet dobjon, de mennyit? A legegyszerűbb módja annak, ha végiggondolja a lehetőségeket a második tekercsben:
   • Ha a második dobás érme, akkor visszatérünk a kezdetekhez.
   • Ha a második alkalom is egy csésze, akkor készen vagyunk!
5. Megtanulják, hogyan kell kiszámítani a két esemény bekövetkezésének valószínűségét. Most már tudjuk, hogy 50% esélye van arra, hogy dobjon egy csészét, de mennyi az esély arra, hogy kétszer egymás után dobjon egy csészét? Ennek a valószínűségnek a kiszámításához szorozza meg mindkettő valószínűségét. Ebben az esetben 0,5 x 0,5 = 0,25. Természetesen ez az esély arra is, hogy fejeket, majd farkakat gördítsen, mert mindkettőjüknek 0,5 esélye van: 0,5 x 0,5 = 0,25.
6. Adja hozzá az eredményt a "fej, majd farok" kifejezésre az egyenlethez. Most, hogy kiszámoltuk annak valószínűségét, hogy ez az esemény bekövetkezik, folytathatjuk az egyenlet bővítését. 0,25 (vagy 1/4) esély van arra, hogy kétszer pazaroljuk a dobást anélkül, hogy továbblépnénk. De most még átlagosan x számú újabb dobásra van szükségünk ahhoz, hogy megkapjuk a kívánt eredményt, plusz a 2, amelyet már eldobtunk. Egyenlet formájában ez (0,25) (x + 2) lesz, amelyet most hozzáadhatunk az egyenlethez:
   • x = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + ___
7. Adja hozzá a "címsor, fejléc" eredményét az egyenlethez. Ha fejet görgetsz, fejezd be az érmék első két dobását, kész. Pontosan 2 dobással érted el az eredményt. Amint azt korábban megjegyeztük, erre 0,25 esély van, ezért ennek egyenlete (0,25) (2). Összehasonlításunk befejeződött:
   • x = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + (0,25) (2)
   • Ha nem biztos benne, hogy minden lehetséges helyzetet átgondolt, van egy egyszerű módja annak ellenőrzésére, hogy az egyenlet teljes-e. Az egyenlet minden részében az első szám jelzi az esemény bekövetkezésének valószínűségét. Ez mindig 1-et ad. Itt 0,5 + 0,25 + 0,25 = 1, tehát tudjuk, hogy minden helyzetet belefoglaltunk.
8. Egyszerűsítse az egyenletet. Tegyük kissé könnyebbé az egyenletet szorzással. Ne feledje, hogy ha valami zárójelben lát ilyet: (0.5) (x + 1), akkor meg kell szorozni 0.5-t minden olyan záradékkal, amely a zárójel második sorozatában található. Ez a következőket adja meg: 0,5x + (0,5) (1) vagy 0,5x + 0,5. Tegyük ezt az egyenlet minden egyes kifejezésére, majd egyesítsük ezeket a kifejezéseket, hogy mindez kissé egyszerűbb legyen:
   • x = 0,5x + (0,5) (1) + 0,25x + (0,25) (2) + (0,25) (2)
   • x = 0,5x + 0,5 + 0,25x + 0,5 + 0,5
   • x = 0,75x + 1,5
9. Oldja meg x-et. Mint minden egyenletben, az egyenlet egyik oldalán el kell különíteni az x-et annak kiszámításához. Ne feledje, hogy az x azt jelenti: "az érmék átlagos száma, amelyet fel kell dobni, hogy egymás után kétszer lehessen fej." Amikor kiszámítottuk x-et, megtaláltuk a válaszunkat is.
   • x = 0,75x + 1,5
   • x - 0,75x = 0,75x + 1,5 - 0,75x
   • 0,25x = 1,5
   • (0,25x) / (0,25) = (1,5) / (0,25)
   • x = 6
   • Átlagosan 6-szor kell dobnia egy érmét, mielőtt kétszer fejet vetne.

3/3-as módszer: A koncepció megértése

1. Mi a várható érték valójában. Az elvárt érték nem feltétlenül a legnyilvánvalóbb vagy leglogikusabb eredmény. Néha egy várakozási érték lehetetlen érték is lehet egy adott helyzetben. Például a várható érték + 5 euró lehet egy olyan játék esetében, amelynek nyereménye nem haladja meg a 10 eurót. A várakozási érték azt jelzi, hogy egy adott esemény mekkora értékkel bír. Ha egy játék várható értéke + 5 €, akkor akkor is játszhat, ha úgy érzi, hogy megérte a játékonként megszerezhető időt és pénzt. Ha egy másik játék várható értéke 20 dollár, akkor csak akkor játssza, ha úgy gondolja, hogy minden játék 20 dollárt ér.
2. Értse meg a független események fogalmát. A mindennapi életben sokan azt gondoljuk, hogy van egy szerencsés napunk, amikor jó dolgok történnek, és azt várjuk, hogy a nap többi része is így fog menni.Ugyanígy gondolhatjuk azt is, hogy elegünk van egy balesetről, és hogy most valami igazán szórakoztató dolgot kell elvégezni. Matematikailag a dolgok nem így mennek. Ha szokásos érmét dob, pontosan ugyanannyi az esély, hogy fejet vagy érmét dob. Nem számít, hányszor dobott már; ha legközelebb dobja, akkor is ugyanúgy működik. Az érme dobása "független" a többi dobástól, ez nem befolyásolja.
   • Az a meggyőződés, hogy szerencsés vagy szerencsétlen lehet érmék dobásakor (vagy bármely más szerencsejáték), vagy Azt a tényt, hogy minden balszerencséd most véget ért, és a szerencse melletted áll, a játékosok csalásának (vagy a játékos tévedésének) is nevezzük. Ez összefügg az emberek hajlamával kockázatos vagy ostoba döntéseket hozni, amikor úgy érzik, hogy a szerencse mellettük van, vagy ha "szerencsés csíkot" éreznek, vagy ha úgy érzik, hogy "szerencséjük megfordul".
3. Értse meg a nagy számok törvényét. Azt gondolhatja, hogy az elvárt érték nem igazán hasznos, mert csak ritkán mondja el, mi a helyzet tényleges eredménye. Ha kiszámította, hogy a rulett játék várható értéke - 1 euró, és háromszor játszik a játékkal, akkor általában - 10 euró vagy + 60 euró, vagy valamilyen más eredmény lesz. A "Nagy számok törvénye" segít megmagyarázni, miért hasznosabb a várakozási érték, mint gondolnád: minél többet játszol, annál közelebb lesz az elvárt értékhez az átlagos eredmény. Az események nagy számát tekintve jó esély van arra, hogy a végeredmény közel legyen a várt értékhez.

Tippek

• Azokban a helyzetekben, ahol többféle eredmény is lehetséges, létrehozhat egy táblázatot a számítógépen a várható érték kiszámításához az eredmények és valószínűségeik alapján.
• A fenti € számítások más pénznemekben is működnek.

Szükségletek

• Ceruza
• Papír
• Számológép