Tartalom

• Lépni
• 1/2 módszer: Gyökérhúzás elsődleges tényezőkkel
• 2/2-es módszer: Négyzetgyök keresése számológép nélkül
• Hosszú megosztottsággal
• Értse meg az eljárást
• Tippek
• Figyelmeztetések

A számológépek megjelenése előtt mind a hallgatóknak, mind a professzoroknak négyzetgyököt kellett kiszámolniuk tollal és papírral. Különböző technikákat fejlesztettek ki annak idején ennek a néha nehéz feladatnak a kezelésére, amelyek közül néhány durva becslést ad, mások pedig kiszámítják a pontos értéket. Olvassa el, hogy megtanulja, hogyan találhatja meg a szám négyzetgyökét néhány egyszerű lépésben.

Lépni

1/2 módszer: Gyökérhúzás elsődleges tényezőkkel

1. Ossza szét a teljesítménytényezőkre. Ez a módszer egy szám tényezőit használja a szám négyzetgyökének megtalálásához (a számtól függően lehet pontos válasz vagy becslés). A tényezők egy adott szám bármely olyan számsorozata, amelyet összeszorozva alkotják az adott számot. Például elmondhatja, hogy a 8-as tényezők megegyeznek 2-vel és 4-tel, mert 2 × 4 = 8. A tökéletes négyzetek viszont egész számok, amelyek más egész számok szorzata. Például 25, 36 és 49 tökéletes négyzetek, mert egyenlőek 5, 6 és 7. A második teljesítménytényezők, amint megértettétek, olyan tényezők, amelyek szintén tökéletes négyzetek. Ha négyzetgyököt prímtényezők segítségével szeretne megtalálni, először próbálja meg felosztani a számot a második teljesítménytényezőre.
   • Vegyük a következő példát. Meg fogjuk találni a 400 négyzetgyökét. Először is felosztjuk a számot teljesítménytényezőkre. Mivel a 400 a 100 többszöröse, tudjuk, hogy egyenletesen osztható 25-vel - egy tökéletes négyzet. A gyors rote elmondja, hogy a 400/25 = 16,16 is tökéletes négyzet. Tehát a 400-as kocka tényezők igen 25 és 16 mert 25 × 16 = 400.
   • Ezt így írjuk: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. Vegyük a második hatalmi tényezők négyzetgyökét. A négyzetgyökök szorzata kimondja, hogy bármely adott számra a és b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Ennek a tulajdonságnak köszönhetõen most felvehetjük a négyzetek tényezõinek négyzetgyökeit, és együtt megszorozhatjuk a választ.
   • Példánkban a 25 és 16 négyzetgyökeit vesszük. Lásd alább:
     • Sqrt (25 × 16)
     • Sqrt (25) × Sqrt (16)
     • 5 × 4 = 20
3. Ha a számát nem lehet tökéletesen felvenni, egyszerűsítse azt. A valóságban azok a számok, amelyeknek négyzetgyökét meg akarjuk határozni, nem lesznek szép, lekerekített számok, szép négyzetekkel, például 400. Ezekben az esetekben előfordulhat, hogy nem lehet egész számot kapni válaszként. Ehelyett az összes megtalált teljesítménytényező felhasználásával kisebb, könnyebben használható négyzetgyökként határozhatja meg a választ. Ezt úgy hajtja végre, hogy a számot a teljesítménytényezők és más tényezők kombinációjára redukálja, majd egyszerűsíti.
   • Példaként a 147 négyzetgyökét vesszük. A 147 nem két tökéletes négyzet szorzata, ezért nem kaphatunk szép egész számot. De ez egy tökéletes négyzet és egy másik szám - 49 és 3 szorzata. Ezeket az információkat felhasználhatjuk arra, hogy válaszunkat a legegyszerűbben megírjuk:
     • Sqrt (147)
     • = Sqrt (49 × 3)
     • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
     • = 7 × Sqrt (3)
4. Szükség esetén egyszerűsítse. A négyzetgyököt a legegyszerűbben használva általában meglehetősen könnyű hozzávetőlegesen becsülni a választ a fennmaradó négyzetgyök becslésével és szorzásával. A találgatások javításának egyik módja a tökéletes négyzetek megtalálása a négyzetgyökében lévő szám két oldalán. Tudja, hogy a négyzetgyökében lévő szám tizedesértéke valahol e két szám között helyezkedik el, így a találgatásának is e számok között kell lennie.
   • Térjünk vissza a példánkra. Mivel 2 = 4 és 1 = 1, tudjuk, hogy a Sqrt (3) 1 és 2 között van - valószínűleg közelebb van a 2-hez, mint 1. A becslések szerint 1.7. 7 × 1,7 = 11,9. Ha ezt ellenőrizzük a számológéppel, akkor azt látjuk, hogy elég közel vagyunk a válaszhoz: 12,13.
     • Ez nagyobb számoknál is működik. Például az sqrt (35) nagyjából 5 és 6 között van (valószínűleg közelebb van a 6-hoz). 5 = 25 és 6 = 36,35 25 és 36 között van, tehát a négyzetgyök 5 és 6 között lesz. Mivel a 35 valamivel 36 alatt van, bizonyos bizalommal mondhatjuk, hogy ennek négyzetgyöke éppen kevesebb, mint 6. Számológéppel ellenőrizve körülbelül 5,92-es választ adunk - igazunk volt.
5. Alternatív megoldásként első lépésként egyszerűsítheti a számot a legkisebb közös többszörös. A teljesítménytényezők keresése nem szükséges, ha könnyen megtalálhatja egy szám prímtényezőit (olyan tényezőket, amelyek egyben prímszámok is). Írja a számot a legkevésbé gyakori szorzókra. Ezután keressen a tényezők között, hogy megegyezzenek-e prímszámok. Ha két elsődleges tényezőt talál, amelyek megfelelnek, távolítsa el őket a négyzetgyökből, és tegye a helyét a ezeknek a számoknak a négyzetgyökjelen kívül.
   • Például ezzel a módszerrel meghatározzuk a 45 négyzetgyökét. Tudjuk, hogy 45 = 9 × 5, és hogy 9 = 3 × 3. Tehát a négyzetgyököt így írhatjuk: Sqrt (3 × 3 × 5). Egyszerűen törölje a 3-at, és tegyen egy 3-at a négyzetgyökön kívülre, hogy egyszerűsített négyzetgyököt kapjon: (3) Sqrt (5). Most könnyen becsülhet.
   • Utolsó példa; meghatározzuk a 88 négyzetgyökét:
     • Sqrt (88)
     • = Sqrt (2 × 44)
     • = Sqrt (2 × 4 × 11)
     • = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). Négy négyzet van a négyzetgyökünkben. Mivel a 2 elsődleges, eltávolíthatunk egy párot, és egy 2-et elhelyezhetünk a gyökéren kívül.
     • = Négyzetgyökünk a legegyszerűbben: (2) Sqrt (2 × 11) vagy (2) Sqrt (2) Sqrt (11). Most megközelíthetjük az Sqrt (2) és az Sqrt (11) elemeket, és ha akarunk, hozzávetőleges választ találunk.

2/2-es módszer: Négyzetgyök keresése számológép nélkül

Hosszú megosztottsággal

1. Ossza el számának számjegyeit párokra. Ez a módszer hasonló a hosszú osztáshoz, amely lehetővé teszi a pontos számjegy négyzetgyöke számjegyenként. Bár nem elengedhetetlen, egy szám működőképes darabokra bontása megkönnyítheti a megoldást, különösen, ha hosszú. Először rajzoljon egy függőleges vonalat, amely a munkaterületet 2 területre osztja, majd egy rövidebb vonalat a jobb terület teteje közelében, felosztva egy kisebb felső részre és egy nagyobb részre alatta. Ezután ossza el a számot számpárokra, a tizedestől kezdve. E szabály szerint a 79520789182.47897 szám "7 95 20 78 91 82.47 89 70" lesz. Írja be ezt a számot a bal felső területre.
   • Példaként számítsuk ki a 780,14 négyzetgyökét. Ossza meg munkaterületét a fentiek szerint, és írja a "7 80, 14" szót a bal felső sarokba. Nem baj, ha a bal szélen csak egy van kettő helyett. Ezután megírja a választ (a 780,14 négyzetgyöke) a jobb terület tetejére.
2. Keresse meg a legnagyobb egész számot n amelynek négyzete kisebb vagy egyenlő a bal oldali legtöbb számmal vagy számmal. Keresse meg a legnagyobb négyzetet, amely kisebb vagy egyenlő ezzel a számmal, majd keresse meg ennek a négyzetnek a négyzetgyökét. Ez a szám n. Írja be a jobb felső területre, és írja be az n négyzetét az adott terület alsó negyedébe.
   • Példánkban a baloldali számjegy a 7. szám. Mivel tudjuk, hogy 2 = 4 ≤ 7 3 = 9, azt mondhatjuk, hogy n = 2, mert ez a legnagyobb egész szám, amelynek négyzete kisebb vagy egyenlő 7-vel. Írja a 2-et a jobb felső negyedbe. Ez a válasz első számjegye. Írja a 4-et (a 2-es négyzet) a jobb alsó negyedbe. Ez a szám fontos a következő lépésnél.
3. Vonja le a számított számot a bal szélső számjegy vagy szám. A hosszú osztáshoz hasonlóan a következő lépés az, hogy kivonjuk a négyzetet a számból, amelyet az imént használtunk a számításhoz. Írja ezt a számot a bal szélső szám alá, és vonja le őket. Írd le a választ alább.
   • Példánkban egy 4-et írunk 7 alá, és kivonjuk. Ez ad 3 válaszul.
4. Mozgassa a következő számot lefelé. Helyezze ezt az előző szerkesztésben talált érték mellé. Szorozza meg a jobb felső sarokban lévő számot kettővel, és írja le a jobb alsó sarokban. Hagyjon helyet az imént felírt szám mellett az összegért, amelyet a következő lépésben meg fog tenni. Írja ide "_ × _ =" ".
   • Példánkban a következő szám "80". Írja a "80" -t a 3 mellé a bal negyedbe. Ezután szorozza meg a jobb felső sarokban lévő számot 2-vel. Ez a szám 2, tehát 2 × 2 = 4. Írja le a jobb alsó sarokba a "" 4 "-t, majd _×_=.
5. Írja be a jobb oldalon található számokat. Az összeg üres mezőjébe (jobbra) írja be a legnagyobb egész számot, amely a jobb szorzási összeg eredményét kisebb vagy egyenlő lesz a bal oldali aktuális számmal.
   • Példánkban 8-at adunk meg, és ez 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384-et eredményez. Ez nagyobb, mint 380. Tehát a 8 túl nagy, de a 7 valószínűleg nem. Töltsön ki 7-et és oldja meg: 4 (7) × 7 = 329. 7 jó, mert a 329 kisebb, mint 380. Írja a 7-et a jobb felső sarokba. Ez a második számjegy a 780.14 négyzetgyökében.
6. Az éppen kiszámolt számot vonja le a bal oldali aktuális számból. Tehát kivonja a jobboldali szorzás eredményét a bal oldali aktuális válaszból. Írja meg a válaszát közvetlenül alatta.
   • Példánkban 329-et vonunk le 380-ból, és ez ad 51 eredményeképpen.
7. Ismételje meg a 4. lépést. Vigye a következő számpárt 780,14-ről. Amikor vesszőhöz érkezik, írja be ezt a vesszőt a jobb oldali válaszba. Ezután szorozza meg a jobb felső számot 2-vel, és írja a választ a ("_ × _") mellé, mint fent.
   • Válaszunkban most vesszőt írunk, mert a 780.14-ben is találkozunk ezzel. Mozgassa a következő párot (14) a bal negyedbe. 27 x 2 = 54, ezért a jobb alsó negyedbe "54 _ × _ =" -t írunk.
8. Ismételje meg az 5. és 6. lépést. Keresse meg a legnagyobb számot, amely olyan választ ad, amely kisebb vagy egyenlő a bal oldalon lévő aktuális számmal. Megoldani.
   • Példánkban 549 × 9 = 4941, ami kisebb vagy egyenlő a bal oldali számmal (5114). 549 × 10 = 5490, ami túl magas, tehát 9 a válaszunk. Írja a következőt a jobb felső számként a 9-be, és vonja le a szorzás eredményét a bal számból: 5114 -4941 = 173.
9. Ahhoz, hogy az eredmény pontos legyen, ismételje meg az előző eljárást, amíg meg nem találja a választ a szükséges tizedesjegyek számával (század, ezred).

Értse meg az eljárást

1. Tekintsük egy négyzet S területének azt a számot, amelynek négyzetgyökét ki akarja számítani. Mivel egy négyzet területe L, ahol L az egyik oldalának hossza, ezért a számod négyzetgyökének megkeresésével megpróbálod kiszámítani az adott négyzet oldalának L hosszát.
2. Adjon a válasz minden számjegyének egy levelet. Írja be az A változót L első számjegyeként (a négyzetgyöket, amelyet kiszámítani próbálunk). B a második számjegy, C a harmadik számjegy és így tovább.
3. Adj egy betűt minden egyes számpárnak, amellyel kezded. Adja meg az S változót_a az S első számjegypárjához (a kezdeti érték), S._b a második számpárra stb.
4. Értse meg a módszer és a hosszú megosztottság kapcsolatát. Ez a négyzetgyök megtalálásának módja lényegében egy hosszú osztás, ahol a kezdeti értéket elosztjuk a négyzetgyökével, és "megadjuk" a négyzetgyököt válaszként. Csakúgy, mint a hosszú osztásnál, ahol egyszerre csak a következő számjegy érdekli, úgy egyszerre csak a következő két számjegy érdekli (amelyek megfelelnek a négyzetgyök következő számjegyének).
5. Keresse meg a legnagyobb számot, amelynek négyzete kisebb vagy egyenlő S-vel._a van. Válaszunkban az első A számjegy ekkor a legnagyobb egész szám, amelynek négyzete nem nagyobb, mint S._a (A oly módon, hogy A² ≤ Sa (A + 1) ²). Példánkban S_a = 7, és 2² ≤ 7 3², tehát A = 2.
   • Ne feledje, hogy ha a 88962 számot 7-re osztja hosszú osztás használatával, akkor az első lépés megegyezik: először a 88962 (8) első számjegyével foglalkozik, és azt szeretné, hogy a legnagyobb számjegyet megszorozzuk 7-gyel, amely kisebb vagy egyenlő 8-zal. határozza meg d oly módon, hogy 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). Ebben az esetben d értéke 1.
6. Vizualizálja azt a teret, amelynek a területét meg akarja találni. A válasz, a kezdeti érték négyzetgyöke, L, amely leírja az S területű négyzet hosszát (a kezdeti érték). Az A, B és C értékek az L érték számjegyeit jelentik. Ennek másik mondanivalója az, hogy egy 2 jegyű válasz esetén 10A + B = L, és egy háromjegyű válasz esetén 100A + 10B + C = L, és így tovább.
   • Példánkban (10A + B) 2 = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B2. Ne feledje, hogy a 10A + B az L válaszunkat képviseli, B mellett az egység pozícióban, A pedig a tízes helyzetben. Például, ha A = 1 és B = 2, akkor 10A + B a 12-es szám. (10A + B) ² az egész tér területe, míg 100A² a legnagyobb belső tér területe, B² a legkisebb négyzet területe és 10A × B a megmaradt téglalapok területe. Ezzel a hosszú, bonyolult eljárással megtalálhatjuk az egész négyzet területét, hozzáadva a négyzetek és téglalapok területét.
7. Vonjuk le A-t S-ből._a. Hozz magaddal pár számot (S._b) az S. S. számtól lefelé._a S._b majdnem a tér teljes területe, amelyből éppen levonta a legnagyobb belső tér területét. A maradék mondjuk az N1 szám, amelyet a 4. lépésben kaptunk (N1 = 380 a példánkban). N1 egyenlő 2 × 10A × B + B² (a 2 téglalap területe plusz a kis négyzet területe).
8. Nézd meg N1 = 2 × 10A × B + B², más néven N1 = (2 × 10A + B) × B. Példánkban már ismeri N1 (380) és A (2), ezért most meg kell találnia B-t. B valószínűleg nem egész szám, ezért muszáj tulajdonképpen keresse meg a legnagyobb B egész számot úgy, hogy (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Tehát most megvan: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. Oldja meg az egyenletet. Ennek az egyenletnek a megoldásához szorozzuk meg A-t 2-vel, toljuk át a tízre (szorozzuk meg 10-vel), tegyük B-t az egységekbe, és szorozzuk meg az eredményt B-vel. Más szóval (2 × 10A + B) × B. pontosan mit csinálsz, amikor a 4. lépés jobb alsó sarkába írsz "N_ × _ =" (N = 2 × A-val) (az N = 2 × A-val). Az 5. lépésben meghatározod a legnagyobb B egész számot, amely elfér a vonal alatt, tehát (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
10. Vonja le a teljes területből a területet (2 × 10A + B) × B. Ez megadja az S- (10A + B) ² területet, amelyet még nem vett figyelembe (és amelyet a következő számok azonos módon történő kiszámításához használ).
11. A következő C számjegy kiszámításához ismételje meg az eljárást. Mozgassa a következő számpárt S-ről lefelé (S_c), hogy az N2 balra kerüljön, és keresse meg a legnagyobb C értéket, hogy most megkapja: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (egyenlő a kétjegyű "AB" szám kétszeresével) írta: "_ × _ =" Most határozza meg a legnagyobb számot, amelyet ide beírhat, amely választ ad, amely kisebb vagy egyenlő N2-vel.

Tippek

• A vessző két ponttal történő elmozdítása (100-szoros) egy ponttal elmozdítja a vesszőt a megfelelő négyzetgyökben (10-es tényező).
• A példában 1,73 tekinthető "maradéknak": 780,14 = 27,9² + 1,73.
• Ez a módszer bármely számrendszerre érvényes, nemcsak a tizedes (tizedes) rendszerre.
• Nyugodtan tegye a számításokat a kívánt helyre. Vannak, akik azt a szám fölé írják, amelynek négyzetgyökét ki akarják számítani.
• Alternatív módszer a következő: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). Például a 780,14 négyzetgyökének kiszámításához vegyük azt az egész számot, amelynek négyzete a 780,14-hez (28) legközelebb eső értéke, tehát = 780,14, x = 28 és y = -3,86. A kitöltés és a becslés x + y / (2x) értéket ad, és ez (egyszerűsített kifejezések) 78207/2800 vagy körülbelül 27.931 (1); a következő kifejezés, 4374188/156607 vagy körülbelül 27.930986 (5). Minden kifejezés hozzávetőlegesen 3 tizedes pontosságot ad az előzőhöz.

Figyelmeztetések

• Ügyeljen arra, hogy a számot tizedesponttól párokra osztja. A 79520789182.47897 elosztása "79 52 07 89 18 2,4 78 97 "hibás eredményt ad.