Faktor másodfokú egyenletek

Tartalom

Lépni
A kezdet
1. módszer a 6-ból: Próba és hiba
2. módszer a 6-ból: Bomlás
3/6 módszer: Hármas játék
4. módszer a 6-ból: Két négyzet közötti különbség
5. módszer a 6-ból: Az ABC képlet
6/6 módszer: Számológép használata
Tippek
Figyelmeztetések
Szükségletek

A polinom tartalmaz egy változót (x) egy bizonyos hatványhoz, és több tagot és / vagy állandót. A polinom faktorizálásához a kifejezést kisebb kifejezésekre kell bontania, amelyek összeszorozódnak. Ehhez szükség van egy bizonyos szintű matematikára, ezért nehezen érthető, ha még nem állsz olyan messze.

Lépni

A kezdet

Az egyenlet. A másodfokú egyenlet standard formátuma:

ax + bx + c = 0
Kezdje azzal, hogy elrendezi az egyenletben szereplő feltételeket a legmagasabbtól a legkisebbig. Vegyük például:

6 + 6x + 13x = 0
Átrendezzük ezt a kifejezést, így könnyebb lesz vele dolgozni - egyszerűen a kifejezések áthelyezésével:

6x + 13x + 6 = 0
Az alábbi módszerek egyikével keresse meg a tényezőket. A polinom faktora két kisebb kifejezést eredményez, amelyek összeszorozhatók az eredeti polinom megszerzéséhez:

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Ebben a példában (2x +3) és (3x + 2) tényezők az eredeti kifejezésből 6x + 13x + 6.
Ellenőrizze a munkáját! Szorozza meg a megtalált tényezőket. Kombinálja ugyanazokat a feltételeket, és kész. Kezdeni valamivel:

(2x + 3) (3x + 2)
Tegyük próbára ezt, szorozva a kifejezéseket az EBBL (első - külső - belső - utolsó) használatával, ami:

6x + 4x + 9x + 6
Most 4x és 9x összeadunk, mert ezek egyenlő feltételek. Tudjuk, hogy a tényezők helyesek, mert visszakapjuk azt az egyenletet, amellyel elindultunk:

6x + 13x + 6

1. módszer a 6-ból: Próba és hiba

Ha elég egyszerű polinomod van, akkor azonnal láthatod, hogy mi a tényező. Például némi gyakorlás után sok matematikus képes meglátni a kifejezést 4x + 4x + 1 megvan a (2x + 1) és (2x + 1) tényező, egyszerűen azért, mert ezt már annyiszor látták. (Nyilvánvaló, hogy ez bonyolultabb polinomokkal nem lesz ilyen egyszerű.) Vegyünk egy kevésbé szabványos kifejezést erre a példára:

3x + 2x - 8

Írja le a a kifejezés és a c kifejezés. Használja a formátumot ax + bx + c = 0, ismerje fel a a és c kifejezéseket és jegyezze fel, hogy mely tényezők vannak. 3x + 2x - 8 esetén ez azt jelenti:

a = 3, és 1 tényezőpárja van: 1 * 3
c = -8, és ennek 4 tényezőpárja van: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 és -1 * 8.
Írjon fel két zárójelet üres szóközzel. Itt adhatja meg az egyes kifejezések állandóit:

(x) (x)
Töltse ki az x-ek elõt a szóköz számos lehetséges tényezõjével a érték. A a A példánkban szereplő kifejezés 3x, csak 1 lehetőség van:

(3x) (1x)
Töltse ki az x-ek után a 2 szóközt néhány tényezővel az állandókra. Tegyük fel, hogy a 8. és az 1. lehetőséget választjuk. Írja be ezt:

(3x8)(X1)
Határozza meg, hogy mely jeleknek (plusz vagy mínusz) legyenek az x változók és a számok között. Az eredeti kifejezés karaktereitől függően meg lehet tudni, hogy mik legyenek az állandók karakterei. Vegyük a két tényező két állandóját h és k megemlíteni:

Ha ax + bx + c, akkor (x + h) (x + k)
Ha ax - bx - c vagy ax + bx - c, akkor (x - h) (x + k)
Ha ax - bx + c, akkor (x - h) (x - k)
A 3x + 2x - 8 példánkban a jel: (x - h) (x + k), ami a következő két tényezőt adja meg nekünk:

(3x + 8) és (x - 1)
Teszteld a választást az első-külső-belső-utolsó szorzással. Gyors első teszt annak megállapítására, hogy a középtag legalább a helyes érték-e. Ha nem, akkor valószínűleg rosszul rendelkezik c választott tényezők. Teszteljük a választ:

(3x + 8) (x - 1)
Szorzással kapjuk:

3x - 3x + 8x - 8
Egyszerűsítse ezt a kifejezést a (-3x) és (8x) hasonló kifejezések hozzáadásával, és megkapjuk:

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Most már tudjuk, hogy rossz tényezőket vettünk figyelembe:

3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
Szükség esetén váltson a választási lehetőségekre. Példánkban próbáljuk meg a 2-et és a 4-et, az 1 és 8 helyett:

(3x + 2) (x - 4)
Most a mi c kifejezés egyenlő -8-val, de a (3x * -4) és (2 * x) külső / belső szorzata -12x és 2x, ami nem helyes b kifejezés vagy + 2x.

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
Szükség esetén fordítsa meg a sorrendet. Próbáljuk meg megfordítani a 2. és a 4. oldalt:

(3x + 4) (x - 2)
Most a mi c kifejezés (4 * 2 = 8) és még mindig rendben van, de a külső / belső szorzat -6x és 4x. Ha ezeket kombináljuk, megkapjuk:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x Most elég közel vagyunk a 2x-hez, ahol szeretnénk lenni, de a jel még nem helyes.
Szükség esetén ellenőrizze még egyszer a karaktereit. Megtartjuk ezt a sorrendet, de cseréljük a mínusz előjellel:

(3x - 4) (x + 2)
Most a c kifejezés még mindig rendben van, és a külső / belső termékek most (6x) és (-4x). Mivel:

6x - 4x = 2x
2x = 2x Most a pozitív 2x-et látjuk az eredeti problémából. Ezeknek kell lenniük a megfelelő tényezőknek.

2. módszer a 6-ból: Bomlás

Ez a módszer minden lehetséges tényezőt megad a és c kifejezéseket, és felhasználja őket a helyes tényezők kiderítésére. Ha a számok nagyon nagyok, vagy más módszerek tippelése túl sokáig tart, használja ezt a módszert. Egy példa:

6x + 13x + 6

Szorozzuk a a kifejezés az c kifejezés. Ebben a példában a értéke 6 és c szintén 6.

6 * 6 = 36
Találd meg b távon faktorizálás és tesztelés útján. 2 olyan számot keresünk, amelyek tényezői a * c , és együtt a b kifejezés (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Helyettesítse az egyenletében kapott két számot a szám összegeként b kifejezés. Nézzük k és h a 2 számunk, a 4 és a 9 ábrázolására:

ax + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
Tényezzük a polinomot csoportosítással. Rendezze úgy az egyenletet, hogy el tudja választani az első két tag és az utolsó két tag legnagyobb közös osztóját. Mindkét tényezőnek azonosnak kell lennie. Adja össze a GGD-ket, és tegye őket zárójelbe a tényezők mellé; ennek eredményeként megkapja a két tényezőt:

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

3/6 módszer: Hármas játék

Hasonló a bontási módszerhez. A "hármas játék" módszer megvizsgálja a a és c és felhasználja annak kiderítésére b kell, hogy legyen. Vegyük példaként az egyenletet:

8x + 10x + 2

Szorozzuk a a kifejezés az c kifejezés. A bontási módszerhez hasonlóan ezt is felhasználjuk a b kifejezés. Ebben a példában: a értéke 8 és c az 2.

8 * 2 = 16
Keresse meg a 2 számot, amelyek szorzata ez a szám, és összege megegyezik a b kifejezés. Ez a lépés megegyezik a bontási módszerrel - teszteljük az állandókat. A termék a és c kifejezés 16, és a c kifejezés 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Vegyük ezt a 2 számot, és helyettesítsük őket a "triple play" képletbe. Vegyük az előző lépés 2 számát - kapjuk meg őket h és k hívd őket - és tedd a következő kifejezésbe:

((ax + h) (ax + k)) / a

Ezzel megkapjuk:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Nézze meg, hogy a nevezőben szereplő két kifejezés melyikével osztható el teljesen a. Ebben a példában azt vizsgáljuk, hogy a (8x + 8) vagy a (8x + 2) elosztható-e 8-val. (8x + 8) osztható 8-mal, ezért ezt a kifejezést elosztjuk a és a másikat érintetlenül hagyjuk.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Az a kifejezés, amelyet itt tartottunk, megmarad, miután elosztjuk a a kifejezés: (x + 1)
Vegyük a legnagyobb közös osztót (gcd) egyik vagy mindkét kifejezésből, ha lehetséges. Ebben a példában azt látjuk, hogy a második tag gcd értéke 2, mert 8x + 2 = 2 (4x + 1). Kombinálja ezt a választ az előző lépésben felfedezett kifejezéssel. Ezek az összehasonlítás tényezői.

2 (x + 1) (4x + 1)

4. módszer a 6-ból: Két négyzet közötti különbség

Néhány együtthatót egy polinomban "négyzetekként" vagy 2 azonos szám szorzataként is felismerhet. Ha kitalálja, hogy mely négyzetek vannak, akkor sokkal gyorsabban tudja faktorizálni a polinomokat. Az egyenletet vesszük:

27x - 12 = 0

Ha lehetséges, távolítsa el a gcd-t az egyenletből. Ebben az esetben azt látjuk, hogy mind a 27, mind a 12 osztható 3-mal, így külön is elhelyezhetjük őket:

27x - 12 = 3 (9x - 4)
Határozza meg, hogy az egyenletének együtthatói négyzetek. A módszer használatához meg kell határozni a kifejezések gyökerét. (Ne feledje, hogy kihagytuk a mínuszjeleket - mivel ezek a számok négyzetek, 2 negatív szám szorzata lehet)

9x = 3x * 3x és 4 = 2 * 2
Az általad meghatározott négyzetgyök felhasználásával kiírhatja a tényezőket. Vesszük a a és c értékek az előző lépésből: a = 9 és c = 4, tehát ennek gyökerei a következők: - √a = 3 és √c = 2. Ezek a faktorizált kifejezések együtthatói:

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

5. módszer a 6-ból: Az ABC képlet

Ha úgy tűnik, hogy semmi sem működik, és nem tudja megoldani az egyenletet, használja az abc képletet. Vegyük a következő példát:

x + 4x + 1 = 0

Írja be a megfelelő értékeket az abc képletbe:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Most megkapjuk a kifejezést:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
Oldja meg x-et. Most 2 értéket kell kapnia x-re. Ezek:

x = -2 + √ (3) vagy x = -2 - √ (3)
Használja az x értékeket a tényezők meghatározásához. Adja meg konstansként a két egyenletben kapott x értékeket. Ezek a tényezőid. Ha válaszolunk a kettőre h és k a következõképpen írjuk le a két tényezõt:

(x - h) (x - k)
Ebben az esetben a végső válasz a következő:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

6/6 módszer: Számológép használata

Ha megengedett (vagy kötelező) egy grafikus számológép használata, ez nagyon megkönnyíti a faktort, különösen a vizsgák és a vizsgák esetében. Az alábbi utasítások egy TI grafikus számológépre vonatkoznak. A példában szereplő egyenletet használjuk:

y = x - x - 2

Írja be az egyenletet a számológépbe. Az egyenletmegoldót fogja használni, más néven [Y =] képernyőt.
Ábrázolja az egyenletet a számológéppel. Miután beírta az egyenletet, nyomja meg a [GRAPH] gombot - ekkor egy görbe vonalat, egy parabolt kell látnia az egyenletének grafikus ábrázolásaként (és ez egy parabola, mert egy polinommal van dolgunk).
Keresse meg, hol metszik a parabola az x tengellyel. Mivel a másodfokú egyenletet hagyományosan ax + bx + c = 0 néven írják, ez az a két x érték, amely az egyenletet nullává teszi:

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
- Ha nem látja, hogy a parabola hol metszik az x tengelyt, nyomja meg a [2nd], majd a [TRACE] gombot. Nyomja meg a [2] gombot, vagy válassza a "nulla" lehetőséget. Mozgassa a kurzort egy kereszteződés bal oldalán, és nyomja meg az [ENTER] gombot. Vigye a kurzort egy kereszteződés jobb oldalára, és nyomja meg az [ENTER] gombot. Vigye a kurzort a lehető legközelebb a kereszteződéshez, és nyomja meg az [ENTER] gombot. A számológép megmutatja az x értéket. Tegye ezt a másik kereszteződésnél is.
Írja be a kapott x értékeket a két tényezőbe. Ha a két x értéket vesszük h és k kifejezésként az általunk használt kifejezés így néz ki:

(x - h) (x - k) = 0
Tehát két tényezőnk:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Tippek

Ha a polinomot az abc képlettel számolta, és a válasz gyökereket tartalmaz, akkor az x értékeket frakciókká alakíthatja azok ellenőrzésére.
Ha egy kifejezésnek nincs előtte együtthatója, akkor az együttható értéke 1, pl. X = 1x.
Ha rendelkezik TI-84 számológéppel, van egy SOLVER nevű program, amely meg tudja oldani a másodfokú egyenletet az Ön számára. Megoldja a magasabb fokú polinomokat is.
Sok gyakorlat után végül képes leszel megoldani a polinomokat fejből. De a biztonság kedvéért jobb, ha mindig kiírjuk őket.
Ha egy kifejezés nem létezik, az együttható nulla. Akkor hasznos lehet az egyenlet átírása. Például. x + 6 = x + 0x + 6.

Figyelmeztetések

Ha matematika órán tanulja ezt a koncepciót, figyeljen arra, amit a tanár magyaráz, és ne csak a saját kedvenc módszerét használja. Megkérhetjük, hogy használjon egy meghatározott módszert egy teszthez, vagy a számológépek ábrázolása nem engedélyezett.