Másodfokú egyenletek megoldása - Tippek

Tartalom

Lépések
Tanács

A másodfokú egyenlet egyváltozós polinom, ahol 2 ennek a változónak a legnagyobb kitevője. A másodfokú egyenletek megoldásának három fő módja van: 1) ha lehetséges, faktorszámba kell venni az egyenletet, 2) használni a másodfokú képletet, vagy 3) teljesíteni a négyzetet. Kövesse ezeket a lépéseket, hogy megtanulja, hogyan lehet jártassá válni ezzel a három módszerrel.

Lépések

1/3 módszer: Az egyenletek elemzése tényezőkké

Adja össze ugyanazokat a kifejezéseket, és helyezze át az egyenlet egyik oldalára. A faktoranalízis első lépése, hogy az összes kifejezést oldalra helyezzük, hogy pozitívak legyenek. A kifejezések egyesítéséhez adjon hozzá vagy vonjon ki minden kifejezést, minden olyan kifejezést, amely tartalmazza a kifejezéseket, és az állandókat (a kifejezések egész számok), konvertálja őket az egyik oldalra, és ne hagyjon semmit a másik oldalon. Ezután "0" -ot írhat az egyenlőségjel másik oldalára. Így teheti meg:
Elemezze a kifejezést a faktorba. A kifejezés faktorálásához a (3) -t tartalmazó tényezőt és az (-4) állandó tényezőit kell megszorozni, majd hozzáadni a középtaghoz (-11). . Így teheti meg:
- Mivel csak egy lehetséges tényezőkészlet van, és így átírhatja zárójelbe:
- Ezután használja a redukciót a 4-es tényezők összevonására, hogy megtalálja azt a kombinációt, amely szorzva -11x-et ad. Használhatja a 4-et és az 1-et, vagy a 2-et, és a 2-et, mert mindkettőjüknek a 4 szorzata van. Ne feledje, hogy egy tényezőnek negatívnak kell lennie, mert a kifejezésünk -4.
- A vizsgálati módszerrel ellenőrizni fogjuk a tényezők kombinációját. A szorzás megvalósításakor megkapjuk. Adja össze a feltételeket, és megvan, ez a pontos középtáv, amire törekszünk. Tehát a másodfokú egyenletet éppen egy tényezőre bontottuk.
- Vizsgáljuk meg ennek a tesztnek a példáját: =. Ezeket a kifejezéseket egyesítve megkapjuk. Bár igaz, hogy a -2 és a 2 terméke egyenlő -4-vel, a köztes kifejezés nem helyes, mert szükségünk van rá, nem.
Legyen minden zárójelben lévő kifejezés nulla mint egyedi egyenletek. Innen keressen két olyan értéket, amelyek az összes egyenletet nulla = 0 értékre teszik. Miután az egyenletet tényezővé teszi, csak zárójelben kell feltüntetnie a kifejezést nulla értékkel. Miért? Ez azért van, mert nulla termék esetében van egy "elv, törvény vagy tulajdon", amely szerint a tényezőnek nulla kell lennie. Ezért legalább egy zárójelben lévő értéknek nullának kell lennie; azaz (3x + 1) vagy (x - 4) nulla kell legyen. Tehát nekünk is van.
Oldja meg ezeket a "nulla" egyenleteket egymástól függetlenül. A másodfokú egyenletnek két lehetséges megoldása van. Keresse meg az x változó minden lehetséges megoldását úgy, hogy elválasztja a változót, és végeredményként felírja annak két megoldását. Itt van, hogyan:
- Oldja meg 3x + 1 = 0
  - Kivon két oldalt: 3x = -1 .....
  - Az oldalak felosztása: 3x / 3 = -1/3 .....
  - Összeomlás: x = -1/3 .....
- Oldja meg x - 4 = 0
  - Vegyen le két oldalt: x = 4 .....
- Írja meg saját lehetséges megoldásait: x = (-1/3, 4) ....., vagyis x = -1/3 vagy x = 4 egyaránt helyes.
Ellenőrizze, hogy x = -1/3 (3x + 1) (x - 4) = 0:

Kifejezés helyett megvan (3 + 1)( – 4) ?=? 0..... Összeomlás: (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... Végezzünk szorzást, kapjuk (0) (- 4 1/3) = 0 ..... 0 = 0 ..... Jobb, x = -1/3 megoldás egyenlet.
Ellenőrizze, hogy x = 4 hüvelyk (3x + 1) (x - 4) = 0:

Kifejezés helyett megvan (3 + 1)( – 4) ?=? 0 ..... Összeomlás: (13) (4 - 4)? =? 0 ..... Végezze el a szorzást: (13) (0) = 0 ..... 0 = 0 ..... Jobb, x = 4 az egyenlet megoldása.
- Tehát mindkét lehetséges megoldást egyenként "tesztelték", és megerősíthető, hogy mindkettő megoldja a problémát, és két különálló valós megoldás.
hirdetés

3/2-es módszer: Használja a másodfokú képletet

Adja hozzá ugyanazokat a kifejezéseket, és helyezze át az egyenlet egyik oldalára. Minden kifejezést áthelyez az egyenlőségjel egyik oldalára úgy, hogy a kifejezés tartalmazza a pozitív előjelet. Írja át a kifejezéseket csökkenő sorrendben, ami azt jelenti, hogy a kifejezés az első, utána következik, végül pedig az állandó. Itt van, hogyan:
- 4x - 5x - 13 = x -5
- 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
- 3x - 5x - 8 = 0
Írja le másodfokú képletét. Vagyis:
Határozza meg a másodfokú egyenletben az a, b és c értékeit! Ki a az x együtthatója, b az x és az együttható c állandó. A 3x -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5 és c = -8 egyenlettel. Kérjük, írja le papírra.
Csatlakoztassa az a, b és c értékeket az egyenletbe. Most, hogy ismeri a fenti három változó értékeit, ezeket így beillesztheti az egyenletbe:
- {-b +/- √ (b - 4ac)} / 2
- {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)
Végezze el a számításokat. Miután kicserélte a számokat, hajtsa végre a számítás többi részét a pozitív vagy negatív jelek csökkentése érdekében, szorozva vagy négyzetelve a fennmaradó kifejezéseket. Itt van, hogyan:
- {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
A négyzetgyök összecsukása. Ha a radikális jel alatt egy tökéletes négyzet van, akkor egy egész számot kap. Ha ez nem egy tökéletes négyzet, akkor redukálja a legegyszerűbb radikális formára. Ha negatív, és biztos benne, hogy negatívnak kell lennie, a megoldás meglehetősen bonyolult lesz. Ebben a példában √ (121) = 11. Írhatnánk: x = (5 +/- 11) / 6.
Oldja meg a pozitív és negatív megoldásokat. Ha eltávolította a négyzetgyököt, addig folytathatja, amíg meg nem találja az x pozitív és negatív megoldásait. Most, hogy (5 +/- 11) / 6 van, két lehetőséget írhat:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
Keresse meg a pozitív és negatív megoldásokat. Csak el kell végeznünk a számítást:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
Összeomlás. A válasz egyszerűsítése érdekében egyszerűen fel kell osztani mind a számlálót, mind a modellt a legnagyobb közös osztóval. Osszuk el az első tört számlálóját és nevezőjét 2-vel, a második tört nevezőjét és nevezőjét pedig 6-val, és megtaláltuk x-et.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
hirdetés

3/3 módszer: Töltse ki a négyzetet

Vigye az összes kifejezést az egyenlet egyik oldalára. Győződjön meg arról, hogy a vagy x pozitív előjellel rendelkezik. Itt van, hogyan:
- 2x - 9 = 12x =
- 2x - 12x - 9 = 0
  - Ebben az egyenletben a egyenlő 2, b egyenlő -12 és c egyenlő -9.
Továbblépett c vagy állandó a másik oldalra. Az konstansok olyan numerikus kifejezések, amelyek nem tartalmaznak változót. Vigye az egyenlet jobb oldalára:
- 2x - 12x - 9 = 0
- 2x - 12x = 9
Ossza el mindkét oldalt az együtthatókkal a vagy az x együtthatója. Ha x-nek nincs előtte tag, akkor annak együtthatója 1, és ezt a lépést kihagyhatja. Esetünkben az egyenletben szereplő összes kifejezést el kell osztani 2-vel, így:
- 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
- x - 6x = 9/2
Ossza meg b kettővel négyzetezze, és adja hozzá az eredményt mindkét oldalához. Ebben a példában b egyenlő -6. A következőket tesszük:
- -6/2 = -3 =
- (-3) = 9 =
- x - 6x + 9 = 9/2 + 9
Két oldal összeomlása. A bal oldali tényező kiszámításához (x-3) (x-3) vagy (x-3). Add a jobb oldalt, hogy 9/2 + 9, vagy 9/2 + 18/2 kapj, és kapj 2/27-et.
Keresse meg mindkét oldal négyzetgyökét. Az (x-3) négyzetgyöke az (x-3). A 27/2 négyzetgyökét ± √ (27/2) alakban fejezheti ki. Tehát, x - 3 = ± √ (27/2).
Összecsukja a radikális jelet, és megtalálja az x-et. A ± √ (27/2) csökkentésére találunk egy négyzetet 27-ben, 2-ben vagy annak egy tényezőjét. A tökéletes négyzet a 27-ben van, mert 9x3 = 27. A radikális jelből a 9 eltávolításához húzzuk ki, és a radikális jel mellé írjuk a 3-at, annak négyzetgyökét. A számlálóban fennmaradó 3-as tényező nem adható ki, így a gyökjel alatt marad. Ugyanakkor a frakció mintájában 2-t is hagyunk. Ezután mozgassa az egyenlet bal oldalán lévő 3 állandót jobbra, és írja le a két megoldást:
- x = 3 + (√6) / 2
- x = 3 - (√6) / 2)
hirdetés

Tanács

Mint látható, a radikális jel nem tűnik el teljesen. Ezért a számlálóban szereplő kifejezések nem lehetnek halmozottak (mert nem ugyanazon tulajdonság kifejezései). Ezért a plusz-mínusz felosztás értelmetlen. Ehelyett feloszthatjuk az összes gyakori tényezőt, de ÉPPEN amikor állandó ÉS Bármely gyökök együtthatói is tartalmazzák ezt a tényezőt.
Ha a radikális jel nem tökéletes négyzet, akkor az utolsó néhány lépést kissé másképp tehetjük meg. Mint például:
Ha a "b" páros szám, a képlet a következő lenne: {- (b / 2) +/- √ (b / 2) -ac} / a.