Tartalom

• Lépések
• 1. módszer 2 -ből: Algebrai módszer
• 2. módszer 2 -ből: Grafikus módszer
• Tippek
• Egy figyelmeztetés

A függvények lehetnek párosak, páratlanok vagy általánosak (azaz nem párosak és nem páratlanok). A függvény típusa a szimmetria meglététől vagy hiányától függ. A függvénytípus meghatározásának legjobb módja az algebrai számítások sorozatának elvégzése. De a függvény típusa az ütemezése alapján is kideríthető. Ha megtanulja meghatározni a függvények típusát, megjósolhatja bizonyos funkciókombinációk viselkedését.

Lépések

1. módszer 2 -ből: Algebrai módszer

1. 1 Ne feledje, mik a változók ellentétes értékei. Az algebrában a változó ellenkező értékét „-” (mínusz) előjellel írjuk. Ezenkívül ez igaz a független változó bármely megjelölésére (betűvel ${ displaystyle x}$ vagy bármilyen más levél). Ha az eredeti függvényben már van negatív előjel a változó előtt, akkor ellentétes értéke pozitív változó lesz. Az alábbiakban példákat mutatunk be néhány változóra és azok ellentétes jelentésére:
   • Fordított jelentése ${ displaystyle x}$ egy ${ displaystyle -x}$.
   • Fordított jelentése ${ displaystyle q}$ egy ${ displaystyle -q}$.
   • Ellenkező jelentése ${ displaystyle -w}$ egy ${ displaystyle w}$.
2. 2 Cserélje ki a magyarázó változót az ellenkező értékével. Vagyis fordítsa meg a független változó előjelét. Például:
   • ${ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ alakul át ${ displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
   • ${ displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}$ alakul át ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
   • ${ displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$ alakul át ${ displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$.
3. 3 Egyszerűsítse az új funkciót. Ezen a ponton nem kell konkrét numerikus értékeket helyettesítenie a független változóhoz. Csak egyszerűsítenie kell az új f (-x) függvényt, hogy összehasonlítsa az eredeti f (x) függvénnyel. Ne feledje a hatványozás alapszabályát: a negatív változó páros hatványra emelése pozitív változót eredményez, a negatív változó páratlan hatványra emelése pedig negatív változót eredményez.
   • ${ displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
     • ${ displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$
   • ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
     • ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x ^ {5}) + 2x}$
     • ${ displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$
   • ${ displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$
     • ${ displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$
4. 4 Hasonlítsa össze a két funkciót. Hasonlítsa össze az egyszerűsített új f (-x) függvényt az eredeti f (x) függvénnyel. Írja le egymás alá mindkét függvény megfelelő kifejezéseit, és hasonlítsa össze jeleiket!
   • Ha mindkét függvény megfelelő kifejezéseinek jelei egybeesnek, azaz f (x) = f (-x), akkor az eredeti függvény páros. Példa:
     • ${ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ és ${ displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$.
     • Itt a kifejezések jelei egybeesnek, tehát az eredeti funkció páros.
   • Ha mindkét függvény megfelelő tagjának jelei ellentétesek egymással, azaz f (x) = -f (-x), akkor az eredeti függvény páros. Példa:
     • ${ displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}$, de ${ displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$.
     • Ne feledje, hogy ha az első függvény minden egyes tagját megszorozza -1 -gyel, akkor a második függvényt kapja. Így az eredeti g (x) függvény páratlan.
   • Ha az új függvény nem felel meg a fenti példák egyikének, akkor ez egy általános függvény (azaz nem páros és nem páratlan). Például:
     • ${ displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$, de ${ displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$... Mindkét függvény első tagjának jelei azonosak, a második tag jelei ellentétesek. Ezért ez a funkció nem páros és nem páratlan.

2. módszer 2 -ből: Grafikus módszer

1. 1 Ábrázoljon függvénygráfot!. Ehhez használjon grafikonpapírt vagy grafikus számológépet. Válassza ki a numerikus magyarázó változó értékek tetszőleges többszörösét ${ displaystyle x}$ és csatlakoztassa őket a függvényhez a függő változó értékeinek kiszámításához ${ displaystyle y}$... Rajzolja fel a pontok talált koordinátáit a koordinátasíkon, majd kapcsolja össze ezeket a pontokat a függvény grafikonjának felépítéséhez.
   • Helyettesítsen pozitív függvényeket a függvénybe ${ displaystyle x}$ és a megfelelő negatív számértékeket. Például, tekintettel a funkcióra ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$... Csatlakoztassa a következő értékeket ${ displaystyle x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 2 (1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... Van egy pont a koordinátákkal ${ displaystyle (1,3)}$.
     • ${ displaystyle f (2) = 2 (2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... Van egy pont a koordinátákkal ${ displaystyle (2.9)}$.
     • ${ displaystyle f (-1) = 2 (-1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... Van egy pont a koordinátákkal ${ displaystyle (-1,3)}$.
     • ${ displaystyle f (-2) = 2 (-2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... Van egy pont a koordinátákkal ${ displaystyle (-2,9)}$.
2. 2 Ellenőrizze, hogy a függvény grafikonja szimmetrikus-e az y tengely körül. A szimmetria a diagram tükröződését jelenti az ordinátatengely körül. Ha a grafikon y-tengelytől jobbra eső része (pozitív magyarázó változó) egybeesik a grafikon y-tengelytől balra eső részével (a magyarázó változó negatív értékei), akkor a grafikon szimmetrikus kb. Ha a függvény szimmetrikus az ordinátával, akkor a függvény páros.
   • A grafikon szimmetriáját egyes pontok alapján ellenőrizheti. Ha az érték ${ displaystyle y}$ami megfelel az értéknek ${ displaystyle x}$, megfelel az értéknek ${ displaystyle y}$ami megfelel az értéknek ${ displaystyle -x}$, a funkció páros.Példánkban a függvénnyel ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$ a következő koordinátákat kaptuk:
     • (1.3) és (-1,3)
     • (2,9) és (-2,9)
   • Vegye figyelembe, hogy ha x = 1 és x = -1, akkor a függő változó y = 3, és ha x = 2 és x = -2, akkor a függő változó y = 9. Tehát a funkció egyenletes. Valójában ahhoz, hogy megtudja a függvény pontos formáját, több mint két pontot kell figyelembe vennie, de a leírt módszer jó közelítés.
3. 3 Ellenőrizze, hogy a függvény grafikonja szimmetrikus -e az origóval kapcsolatban. Az origó a (0,0) koordinátájú pont. Az eredet szimmetriája azt jelenti, hogy pozitív érték ${ displaystyle y}$ (pozitív értékkel ${ displaystyle x}$) negatív értéknek felel meg ${ displaystyle y}$ (negatív értékkel ${ displaystyle x}$), és fordítva. A páratlan függvények szimmetrikusak az eredettel kapcsolatban.
   • Ha a függvényben több pozitív és megfelelő negatív értéket helyettesítünk ${ displaystyle x}$, értékek ${ displaystyle y}$ jelben különböznek. Például, tekintettel a funkcióra ${ displaystyle f (x) = x ^ {3} + x}$... Helyezzen be több értéket is ${ displaystyle x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 1 ^ {3} + 1 = 1 + 1 = 2}$... Van egy pont koordinátákkal (1,2).
     • ${ displaystyle f (-1) = (- 1) ^ {3} + (- 1) =- 1-1 = -2}$... Kaptunk egy pontot (-1, -2) koordinátákkal.
     • ${ displaystyle f (2) = 2 ^ {3} + 2 = 8 + 2 = 10}$... Van egy pont koordinátákkal (2,10).
     • ${ displaystyle f (-2) = (- 2) ^ {3} + (- 2) =- 8-2 = -10}$... Kaptunk egy pontot a koordinátákkal (-2, -10).
   • Így f (x) = -f (-x), vagyis a függvény páratlan.
4. 4 Ellenőrizze, hogy a függvény grafikonja szimmetrikus -e. Az utolsó függvénytípus olyan függvény, amelynek grafikonja nem szimmetrikus, vagyis nincs tükrözés az ordinátatengely és az origó körül sem. Például, tekintettel a funkcióra ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$.
   • Helyezzen be több pozitív és megfelelő negatív értéket a függvénybe ${ displaystyle x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 1 ^ {2} +2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4}$... Van egy pont koordinátákkal (1,4).
     • ${ displaystyle f (-1) = (-1) ^ {2} +2 (-1) + (-1) = 1-2-1 = -2}$... Kaptunk egy pontot (-1, -2) koordinátákkal.
     • ${ displaystyle f (2) = 2 ^ {2} +2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10}$... Van egy pont koordinátákkal (2,10).
     • ${ displaystyle f (-2) = (-2) ^ {2} +2 (-2) + (-2) = 4-4-2 = -2}$... Kaptunk egy pontot (2, -2) koordinátákkal.
   • A kapott eredmények szerint nincs szimmetria. Az értékek ${ displaystyle y}$ ellentétes értékekhez ${ displaystyle x}$ nem esnek egybe és nem ellentétesek. Így a függvény nem páros és nem páratlan.
   • Vegye figyelembe, hogy a függvény ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$ így írható: ${ displaystyle f (x) = (x + 1) ^ {2}}$... Ilyen formában írva a függvény még akkor is látszik, mert páros kitevő van jelen. Ez a példa azonban azt bizonyítja, hogy a függvény típusa nem határozható meg gyorsan, ha a független változó zárójelben van. Ebben az esetben ki kell nyitnia a zárójeleket, és elemeznie kell a kapott kitevőket.

Tippek

• Ha a független változó kitevője páros, akkor a függvény páros; ha a kitevő páratlan, akkor a függvény páratlan.

Egy figyelmeztetés

• Ez a cikk csak két változóval rendelkező függvényekre alkalmazható, amelyek értékei a koordináta síkon ábrázolhatók.