Tartalom

• Lépések
• Tippek

A racionális függvény alakja y = N (x) / D (x), ahol N és D polinomok. Egy ilyen függvény pontos ábrázolásához jó ismeretekkel kell rendelkeznie az algebráról, beleértve a differenciálszámításokat is. Tekintsük a következő példát: y = (2x - 6x + 5)/(4x + 2).

Lépések

1. 1 Keresse meg a grafikon y-metszetét. Ehhez cserélje ki az x = 0 értéket a függvénybe, és kapja meg az y = 5/2 értéket. Így a gráf és az Y tengely metszéspontja koordinátákkal rendelkezik (0, 5/2).Helyezze ezt a pontot a koordinátasíkra.
2. 2 Keresse meg a vízszintes aszimptotákat. Oszd meg a számlálót a nevezővel (oszlopban), hogy meghatározd az "y" viselkedését a "végtelen" -ig terjedő "x" értékekkel. Példánkban a felosztás lesz y = (1/2)x - (7/4) + 17/(8x + 4). Nagy pozitív vagy negatív "x" értékekhez 17 / (8x + 4) nullára hajlik, és a gráf megközelíti a függvény által megadott egyenest y = (1/2)x - (7/4). A szaggatott vonallal ábrázolja ezt a függvényt.
   • Ha a számláló foka kisebb, mint a nevező foka, akkor nem oszthatja a számlálót a nevezővel, és az aszimptotát a függvény írja le nál nél = 0.
   • Ha a számláló foka megegyezik a nevező fokával, akkor az aszimptóta egy vízszintes vonal, amely megegyezik a legmagasabb fokú "x" együtthatókkal.
   • Ha a számláló foka 1 -gyel nagyobb, mint a nevező foka, akkor az aszimptóta ferde egyenes, amelynek meredeksége megegyezik az "x" és a legmagasabb fok közötti együtthatók arányával.
   • Ha a számláló foka nagyobb, mint a nevező foka 2, 3, stb., Akkor nagy értékek esetén |NS| jelentése nál nél hajlamosak a végtelenségig (pozitív vagy negatív) négyzet, köbös vagy más fokú polinom formájában. Ebben az esetben a legvalószínűbb, hogy nem kell pontos gráfot készítenie a függvényről, amelyet úgy kapunk, hogy a számlálót elosztjuk a nevezővel.
3. 3 Keresse meg a függvény nulláit. Egy racionális függvénynek nulla, ha a számlálója nulla, azaz N (NS) = 0. Példánkban 2x - 6x + 5 = 0. Ennek a másodfokú egyenletnek a diszkriminánsa: b - 4ac = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Mivel a diszkrimináns negatív, akkor N (NS), és ezért F (NS) nincs valódi gyökere. A racionális függvény grafikonja nem metszi az X tengelyt. Ha a függvénynek nullái (gyökei) vannak, akkor tegye őket a koordinátasíkra.
4. 4 Keresse meg a függőleges aszimptotákat. Ehhez állítsa a nevezőt nullára. Példánkban a 4x + 2 = 0 és NS = -1/2. Ábrázolja a függőleges aszimptotát a szaggatott vonallal. Ha valamilyen értékért NS N (NS) = 0 és D (NS) = 0, akkor a függőleges aszimptóta vagy létezik, vagy nem létezik (ez ritka eset, de jobb emlékezni rá).
5. 5 Nézze meg a számláló többi részét a nevezővel osztva. Ez pozitív, negatív vagy nulla? Példánkban a maradék 17, ami pozitív. Nevező 4x + 2 pozitív a függőleges aszimptótától jobbra, és balra negatív. Ez azt jelenti, hogy a nagy pozitív értékek racionális függvényének grafikonja NS felülről közelíti meg az aszimptotát, és nagy negatív értékeket NS - alulról. 17 / óta (8x + 4) soha nem egyenlő nullával, akkor ennek a függvénynek a grafikonja soha nem fogja metszeni a függvény által meghatározott egyenest nál nél = (1/2)NS - (7/4).
6. 6 Keresse meg a helyi szélsőségeket. Létezik egy extrém N '(x) D (x) - N (x) D '(x) = 0. Példánkban N ’(x) = 4x - 6 és D '(x) = 4. N ’(x) D (x) - N (x) D '(x) = (4x - 6)(4x + 2) - (2x - 6x + 5)*4 = x + x - 4 = 0. Ezt az egyenletet megoldva azt találod x = 3/2 és x = -5/2. (Ezek nem teljesen pontos értékek, de alkalmasak a mi esetünkben, amikor nincs szükség túl pontosra.)
7. 7 Keresse meg az értéket nál nél minden helyi extrém esetében. Ehhez cserélje ki az értékeket NS az eredeti racionális funkcióba. Példánkban f (3/2) = 1/16 és f (-5/2) = -65/16. Tegyen félre pontokat (3/2, 1/16) és (-5/2, -65/16) a koordinátasíkon. Mivel a számítások közelítő értékeken alapulnak (az előző lépésből), a talált minimális és maximális értékek sem teljesen pontosak (de valószínűleg nagyon közel állnak a pontos értékekhez). (A pont (3/2, 1/16) nagyon közel van a helyi minimumhoz. A 3. lépéstől kezdve tudjuk, hogy nál nél mindig pozitív NS> -1/2, és találtunk egy kis értéket (1/16); így a hiba értéke ebben az esetben rendkívül kicsi.)
8. 8 Csatlakoztassa a függőben lévő pontokat, és simán nyújtsa ki a grafikont az aszimptotákhoz (ne felejtse el az aszimptotákat megközelítő grafikon helyes irányát). Ne feledje, hogy a grafikon nem lépheti át az X tengelyt (lásd a 3. lépést). A grafikon szintén nem metszi a vízszintes és függőleges aszimptotákat (lásd az 5. lépést). Ne változtassa meg a diagram irányát, kivéve az előző lépésben talált szélső pontokat.

Tippek

• Ha szigorúan sorrendben követte a fenti lépéseket, akkor nem kell kiszámítania a második deriváltokat (vagy hasonló komplex mennyiségeket) a megoldás teszteléséhez.
• Ha nem kell kiszámítania a mennyiségek értékeit, a helyi szélsőségek keresését helyettesítheti néhány további koordinátapár kiszámításával (NS, nál nél) az egyes aszimptótapárok között. Sőt, ha nem érdekli a leírt módszer működése, akkor ne csodálkozzon azon, hogy miért nem találja meg a deriváltot és nem oldja meg az N '(x) D (x) - N (x) D '(x) = 0.
• Bizonyos esetekben magasabb rendű polinomokkal kell dolgoznia. Ha nem találja meg a pontos megoldást faktorizációval, képletekkel stb., Akkor becsülje meg a lehetséges megoldásokat numerikus módszerekkel, például Newton módszerével.
• Ritka esetekben a számláló és a nevező közös változó tényezővel rendelkezik. A leírt lépések szerint ez nullához és függőleges aszimptotához vezet ugyanazon a helyen. Ez azonban nem lehetséges, és a magyarázat a következők egyike:
  • Nulla É -ban (NS) nagyobb szorzattal rendelkezik, mint a nulla D -ben (NS). F grafikon (NS) ezen a ponton nullára hajlik, de ott nincs definiálva. Ezt úgy jelezheti, hogy egy kört rajzol a pont körül.
  • Nulla É -ban (NS) és nulla D (NS) ugyanolyan sokrétűséggel rendelkeznek. A grafikon ezen az értéken megközelíti a nullától eltérő pontot NSde nincs benne meghatározva. Ezt úgy jelezheti, hogy egy kört rajzol a pont körül.
  • Nulla É -ban (NS) kisebb többszöröse a nullának a D -ben (NS). Itt van egy függőleges aszimptóta.