A másodfokú egyenletek megoldása

Tartalom

Lépések
1. módszer a 3 -ból: Egyenlet faktorálása
2. módszer a 3 -ból: A másodfokú képlet használata
3. módszer a 3 -ból: A tér kitöltése
Tippek

A másodfokú egyenlet olyan egyenlet, amelyben a változó legnagyobb teljesítménye 2. Három fő módja van a másodfokú egyenletek megoldásának: ha lehetséges, számolja be a másodfokú egyenletet, használja a másodfokú képletet, vagy töltse ki a négyzetet. Szeretné tudni, hogyan történik mindez? Olvass tovább.

Lépések

1. módszer a 3 -ból: Egyenlet faktorálása

1 Adja hozzá az összes hasonló elemet, és helyezze át őket az egyenlet egyik oldalára. Ez lesz az első lépés, vagyis x2{ displaystyle x ^ {2}} ebben az esetben pozitívnak kell maradnia. Az összes érték hozzáadása vagy kivonása x2{ displaystyle x ^ {2}}, x{ displaystyle x} és állandó, mindent áthelyez az egyik részre, a 0 -t pedig a másikban hagyja. Ezt a következőképpen teheti meg:
- ${ displaystyle 2x ^ {2} -8x-4 = 3x-x ^ {2}}$
- ${ displaystyle 2x ^ {2} + x ^ {2} -8x-3x-4 = 0}$
- ${ displaystyle 3x ^ {2} -11x -4 = 0}$
2 Faktorálja a kifejezést. Ehhez használnia kell az értékeket x2{ displaystyle x ^ {2}} (3), állandó értékek (-4), ezeket meg kell szorozni és -11 formát kell adni. Ezt a következőképpen teheti meg:
- ${ displaystyle 3x ^ {2}}$ csak két lehetséges tényező van: ${ displaystyle 3x}$ és ${ displaystyle x}$ tehát zárójelbe írhatók: ${ displaystyle (3x pm?) (x pm?) = 0}$ .
- Ezután a 4 -es tényezőket helyettesítve megtaláljuk azt a kombinációt, amely szorozva -11x -et ad. Használhat 4 és 1 kombinációt, vagy 2 és 2 kombinációt, mivel mindkettő 4 -et ad. Ne feledje, hogy az értékeknek negatívnak kell lenniük, mert nálunk -4.
- Próbán és tévedésen keresztül megkapja a kombinációt ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$ ... Szaporításkor kapjuk ${ displaystyle 3x ^ {2} -12x + x -4}$ ... Csatlakozással ${ displaystyle -12x}$ és ${ displaystyle x}$ , megkapjuk a középtávot ${ displaystyle -11x}$ amit kerestünk. A másodfokú egyenletet faktorizáljuk.
- Például próbáljunk ki egy nem megfelelő kombinációt: ( ${ displaystyle (3x-2) (x + 2)}$ = ${ displaystyle 3x ^ {2} + 6x-2x-4}$ ... Kombinálva kapjuk ${ displaystyle 3x ^ {2} -4x -4}$ ... Bár a -2 és 2 faktorok -4 -re szoroznak, a középtáv nem működik, mert meg akartuk szerezni ${ displaystyle -11x}$ , de nem ${ displaystyle -4x}$ .
3 A zárójelben lévő minden kifejezést nullázzon (külön egyenletként). Így találunk két jelentést ${ displaystyle x}$ amelyre az egész egyenlet nulla, ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$ = 0. Most már csak a zárójelben lévő kifejezések mindegyike nulla. Miért? A lényeg az, hogy a szorzat nulla, ha legalább az egyik tényező nulla. Mint ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$ nulla, akkor vagy (3x + 1), vagy (x - 4) nulla. Írd le ${ displaystyle 3x + 1 = 0}$ és ${ displaystyle x-4 = 0}$ .
4 Oldja meg minden egyenletet külön. Másodfokú egyenletben x -nek két jelentése van. Oldja meg az egyenleteket, és írja le az x értékeket:
- Oldja meg a 3x + 1 = 0 egyenletet
  - 3x = -1 ..... kivonással
  - 3x / 3 = -1/3 ..... osztással
  - x = -1/3 ..... egyszerűsítés után
- Oldja meg az x - 4 = 0 egyenletet
  - x = 4 ..... kivonással
- x = (-1/3, 4) ..... lehetséges értékek, azaz x = -1/3 vagy x = 4.
5 Ellenőrizze az x = -1/3 értékét, ha ezt az értéket a (3x + 1) (x - 4) = 0 értékbe illeszti:
- (3 [-1/3] + 1) ([- 1/3]- 4)? =? 0 ..... helyettesítéssel
- (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... az egyszerűsítés után
- (0) (- 4 1/3) = 0 ..... szorzás után
- 0 = 0, tehát x = -1/3 a helyes válasz.
6 Ellenőrizze az x = 4 értéket, ha ezt az értéket a (3x + 1) (x - 4) = 0 értékhez csatlakoztatja:
- (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0 ..... helyettesítéssel
- (13) (4 - 4)? =? 0 ..... az egyszerűsítés után
- (13) (0) = 0 ..... szorzás után
- 0 = 0, ezért x = 4 a helyes válasz.
- Így mindkét megoldás helyes.

2. módszer a 3 -ból: A másodfokú képlet használata

1 Kombinálja az összes kifejezést, és írja le az egyenlet egyik oldalára. Mentse az értéket x2{ displaystyle x ^ {2}} pozitív. Írja a kifejezéseket csökkenő fokok sorrendjében, tehát a kifejezést x2{ displaystyle x ^ {2}} először írják, aztán x{ displaystyle x} és akkor állandó:
- 4x - 5x - 13 = x -5
- 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
- 3x - 5x - 8 = 0
2 Írja le a másodfokú egyenlet gyökeinek képletét! A képlet így néz ki: ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$
3 Határozza meg a, b és c értékeit másodfokú egyenletben. Változó a az x kifejezés együtthatója, b - x tag, c - állandó. A 3x -5x -8 = 0, a = 3, b = -5 és c = -8 egyenlethez. Írd le.
4 Dugja be az a, b és c értékét az egyenletbe. A három változó értékeinek ismeretében beillesztheti őket az egyenletbe az alábbiak szerint:
- {-b +/- √ (b- 4ac)} / 2
- {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)
5 Számold meg. Cserélje ki az értékeket, egyszerűsítse az előnyöket és hátrányokat, és szorozza meg vagy négyzetelje a fennmaradó kifejezéseket:
- {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
6 Egyszerűsítse a négyzetgyököt. Ha a négyzetgyök négyzet, akkor egész számot kapunk. Ha nem, akkor egyszerűsítse le a legegyszerűbb gyökértékre. Ha a szám negatív, és biztos benne, hogy negatívnak kell lennie, akkor a gyökerek bonyolultak lesznek. Ebben a példában √ (121) = 11. Írhatja, hogy x = (5 +/- 11) / 6.
7 Keressen pozitív és negatív megoldásokat. Ha eltávolította a négyzetgyök jelét, addig folytathatja, amíg pozitív és negatív x értékeket nem talál. Ha van (5 +/- 11) / 6, akkor írhat:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
8 Keressen pozitív és negatív értékeket. Csak számolj:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
9 Egyszerűsíteni. Ehhez egyszerűen ossza meg mindkettőt a legnagyobb közös tényezővel. Oszd meg az első törtet 2 -vel, a másodikat 6 -tal, x megtalálható.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)

3. módszer a 3 -ból: A tér kitöltése

1 Helyezze át az összes kifejezést az egyenlet egyik oldalára.a vagy x pozitívnak kell lennie. Ez így történik:
- 2x - 9 = 12x =
- 2x - 12x - 9 = 0
  - Ebben az egyenletben a: 2, b: -12,c: -9.
2 Átigazolási tag c (állandó) a másik oldalra. Az állandó egy olyan kifejezés az egyenletben, amely csak numerikus értéket tartalmaz, változók nélkül.Mozgassa a jobb oldalra:
- 2x - 12x - 9 = 0
- 2x - 12x = 9
3 Ossza el mindkét részt tényező szerint a vagy x. Ha x -nek nincs együtthatója, akkor az eggyel egyenlő, és ez a lépés kihagyható. Példánkban az összes tagot elosztjuk 2 -vel:
- 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
- x - 6x = 9/2
4 Feloszt b 2 -gyel, négyzet alakú, és mindkét oldalához hozzáadjuk. Példánkban b egyenlő -6:
- -6/2 = -3 =
- (-3) = 9 =
- x - 6x + 9 = 9/2 + 9
5 Egyszerűsítse mindkét oldalt. Négyzetesítse a kifejezéseket a bal oldalon, hogy megkapja az (x-3) (x-3) vagy (x-3) értékeket. Adja hozzá a kifejezéseket a jobb oldalhoz, hogy 9/2 + 9 vagy 9/2 + 18/2 legyen, azaz 27/2.
6 Bontsa ki mindkét oldal négyzetgyökét. Az (x-3) négyzetgyöke egyszerűen (x-3). A 27/2 négyzetgyöke ± √ (27/2) formában írható fel. Így x - 3 = ± √ (27/2).
7 Egyszerűsítse a radikális kifejezést és keresse meg az x -et. A ± √ (27/2) egyszerűsítése érdekében keresse meg a tökéletes négyzetet a 27 és 2 számokban vagy azok tényezőiben. A 27 -ben egy 9 -es teljes négyzet van, mert 9 x 3 = 27. A 9 -es levezetéséhez a gyökjegyből vegyük le a gyökeret, és vonjunk ki 3 -at a gyökjelből. Hagyjon 3 -at a tört számlálóiban a gyökjel alatt, mivel ez a tényező nem vonható ki, és hagyjon 2 -t az alján. Ezután mozgassa a 3 konstansot az egyenlet bal oldaláról a jobb oldalra, és írja le az x két megoldását:
- x = 3 + (√6) / 2
- x = 3 - (√6) / 2)

Tippek

Ha a gyökérjel alatti szám nem teljes négyzet, akkor az utolsó lépéseket kissé eltérően hajtják végre. Íme egy példa:
Mint látható, a gyökérjel nem tűnt el. Ily módon a számlálókban szereplő kifejezések nem kombinálhatók. Akkor nincs értelme felosztani a pluszt vagy a mínuszt. Ehelyett megosztunk minden közös tényezőt - de csak ha az állandó közös tényezője és gyökér együttható.