Tartalom

• Lépések
• Tippek

Az ax + bx + c vagy a (x - h) + k alakú másodfokú egyenlet grafikonja parabola (U alakú görbe). Egy ilyen egyenlet ábrázolásához meg kell találnia a parabola csúcsát, annak irányát és metszéspontjait az X és Y tengelyekkel. Ha viszonylag egyszerű másodfokú egyenletet kap, akkor helyettesítheti az "x" különböző értékeit "keresse meg a megfelelő" y "értékeket, és készítsen grafikont ...

Lépések

1. 1 A másodfokú egyenlet írható szabványos formában és nem szabványos formában. Másodfokú egyenletek ábrázolásához bármilyen egyenletet használhat (a ábrázolási módszer kissé eltér). Általában a problémáknál a másodfokú egyenletek szabványos formában vannak megadva, de ez a cikk a másodfokú egyenletek írásának mindkét típusáról fog szólni.
   • Standard forma: f (x) = ax + bx + c, ahol a, b, c valós számok és a ≠ 0.
     • Például a standard forma két egyenlete: f (x) = x + 2x + 1 és f (x) = 9x + 10x -8.
   • Nem szabványos forma: f (x) = a (x - h) + k, ahol a, h, k valós számok és a ≠ 0.
     • Például egy nem szabványos forma két egyenlete: f (x) = 9 (x - 4) + 18 és -3 (x - 5) + 1.
   • Bármilyen másodfokú egyenlet ábrázolásához először meg kell találnia a parabola csúcsát, amelynek koordinátái (h, k) vannak. A parabola csúcsának koordinátáit a standard forma egyenleteiben a következő képletekkel számítjuk ki: h = -b / 2a és k = f (h); a parabola csúcsának koordinátái nem szabványos alakú egyenletekben közvetlenül az egyenletekből kaphatók.
2. 2 A grafikon ábrázolásához meg kell találnia az a, b, c (vagy a, h, k) együtthatók számértékeit. A legtöbb feladatban másodfokú egyenleteket adunk meg az együtthatók számértékeivel.
   • Például az f (x) = 2x + 16x + 39 a = 2, b = 16, c = 39 standard egyenletben.
   • Például egy nem szabványos egyenletben f (x) = 4 (x - 5) + 12, a = 4, h = 5, k = 12.
3. 3 Számítsa ki a h-t a standard egyenletben (a nem szabványosban már megadva) a következő képlet segítségével: h = -b / 2a.
   • Szabványos egyenletpéldánkban f (x) = 2x + 16x + 39 h = -b / 2a = -16/2 (2) = -4.
   • Példánkban egy nem szabványos egyenletre f (x) = 4 (x - 5) + 12 h = 5.
4. 4 Számítsa ki k-t a standard egyenletben (a nem szabványosban ez már megadva). Ne feledje, hogy k = f (h), vagyis megtalálhatja a k -t, ha az "x" helyett a h talált értékét behelyettesíti az eredeti egyenletbe.
   • Azt találta, hogy h = -4 (a standard egyenlethez). A k kiszámításához cserélje ki ezt az értéket az "x" értékre:
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • Egy nem szabványos egyenletben k = 12.
5. 5 Rajzoljon egy csúcsot (h, k) koordinátákkal a koordinátasíkon. h az X tengely mentén, k pedig az Y tengely mentén van ábrázolva Egy parabola teteje vagy a legalacsonyabb pont (ha a parabola felfelé mutat), vagy a legmagasabb pont (ha a parabola lefelé mutat).
   • Szabványos egyenletpéldánkban a csúcs koordinátái (-4, 7). Rajzolja le ezt a pontot a koordinátasíkra.
   • Az egyéni egyenletre vonatkozó példánkban a csúcsnak vannak koordinátái (5, 12). Rajzolja le ezt a pontot a koordinátasíkra.
6. 6 Rajzolja fel a parabola szimmetriatengelyét (opcionális). A szimmetriatengely a parabola csúcsán áthalad az Y tengelyével párhuzamosan (azaz szigorúan függőlegesen). A szimmetriatengely felére osztja a parabolát (vagyis a parabola tükörszimmetrikus e tengely körül).
   • Példa standard egyenletünkben a szimmetriatengely az Y tengellyel párhuzamos egyenes, és áthalad a (-4, 7) ponton. Ez a vonal ugyan nem része a parabolanak, de képet ad a parabola szimmetriájáról.
7. 7 Határozza meg a parabola irányát - fel vagy le. Ezt nagyon könnyű megtenni.Ha az "a" együttható pozitív, akkor a parabola felfelé irányul, és ha az "a" együttható negatív, akkor a parabola lefelé irányul.
   • Példánkban a standard egyenletre, f (x) = 2x + 16x + 39, a parabola felfelé mutat, mivel a = 2 (pozitív együttható).
   • Példánkban egy nem szabványos f (x) = 4 (x - 5) + 12 egyenletre a parabola is felfelé irányul, mivel a = 4 (pozitív együttható).
8. 8 Ha szükséges, keresse meg és ábrázolja az x-metszést. Ezek a pontok sokat segítenek parabola rajzolásakor. Lehet kettő, egy vagy semmi (ha a parabola felfelé irányul, és a csúcsa az X tengely felett helyezkedik el, vagy ha a parabola lefelé irányul, és csúcsa az X tengely alatt van). Az X tengely metszéspontjainak koordinátáinak kiszámításához tegye a következőket:
   • Állítsa az egyenletet nullára: f (x) = 0 és oldja meg. Ez a módszer egyszerű másodfokú egyenletekkel működik (különösen nem szabványosakkal), de rendkívül nehéz lehet összetett egyenletek esetén. Példánkban:
     • f (x) = 4 (x - 12) - 4
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • √1 = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. A parabola és az X tengely metszéspontjainak koordinátái (11,0) és (13,0).
   • A standard alakú másodfokú egyenlet tényezője: ax + bx + c = (dx + e) ​​(fx + g), ahol dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx, e × g = c. Ezután állítsa minden binomiális értéket 0 -ra, és keresse meg az "x" értékeit. Például:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • Ebben az esetben a parabola egyetlen metszéspontja van az x tengelykel (-1,0) koordinátákkal, mert x + 1 = 0 x = -1 esetén.
   • Ha nem tudja figyelembe venni az egyenletet, oldja meg a másodfokú képlet segítségével: x = (-b +/- √ (b- 4ac)) / 2a.
     • Például: -5x + 1x + 10.
     • x = (-1 +/- √ (1-4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- √ (1 + 200)) /- 10
     • x = (-1 +/- √ (201)) /- 10
     • x = (-1 +/- 14,18) /- 10
     • x = (13,18 / -10) és (-15,18 / -10). A parabola és az X tengely metszéspontjainak koordinátái (-1 318,0) és (1,518,0).
     • Példánkban a standard forma 2x + 16x + 39 egyenletei:
     • x = (-16 +/- √ (16- 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- √ (256- 312)) / 4
     • x = (-16 +/- √ (-56) /- 10
     • Mivel lehetetlen negatív szám négyzetgyökét kinyerni, ebben az esetben a parabola nem metszi az X tengelyt.
9. 9 Szükség szerint keresse meg és ábrázolja az y-metszést. Nagyon egyszerű - csatlakoztassa az x = 0 -t az eredeti egyenlethez, és keresse meg az "y" értékét. Az Y-elfogás mindig ugyanaz. Megjegyzés: a standard forma egyenleteiben a metszéspont koordinátái (0, s).
   • Például a 2x + 16x + 39 másodfokú egyenlet parabola metszi az Y tengelyt a (0, 39) koordinátájú ponton, mivel c = 39. De ez kiszámítható:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39, vagyis ennek a másodfokú egyenletnek a parabola metszi az Y tengelyt a (0, 39) koordinátákkal rendelkező pontban.
   • Példánkban egy nem szabványos 4 (x-5) + 12 egyenletre az y-metszetet a következőképpen számoljuk ki:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112, vagyis ennek a másodfokú egyenletnek a parabola metszi az Y tengelyt a (0, 112) koordinátákkal rendelkező pontban.
10. 10 Megtalálta (és ábrázolta) a parabola csúcsát, irányát, valamint az X és Y tengelyek metszéspontjait. Ezekből a pontokból építhet parabolákat, vagy további pontokat kereshet és ábrázolhat, és csak ezután építhet egy parabolt. Ehhez csatlakoztasson több x értéket (a csúcs mindkét oldalán) az eredeti egyenletbe a megfelelő y értékek kiszámításához.
    • Térjünk vissza az x + 2x + 1 egyenlethez. Ön már tudja, hogy ennek az egyenletnek a grafikonja az X tengelyével metszéspontja az (-1,0) koordinátájú pont. Ha a parabolának csak egy metszéspontja van az X tengelyével, akkor ez a parabola X tengelyen fekvő csúcsa, ebben az esetben egy pont nem elegendő egy szabályos parabola felépítéséhez. Tehát keressen néhány extra pontot.
      • Tegyük fel, hogy x = 0, x = 1, x = -2, x = -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Pontkoordináták: (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Pontkoordináták: (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Pontkoordináták: (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Pontkoordináták: (-3,4).
      • Rajzolja le ezeket a pontokat a koordinátasíkra, és rajzoljon parabola-t (kösse össze a pontokat U-görbével). Kérjük, vegye figyelembe, hogy a parabola abszolút szimmetrikus - a parabola egyik ágának bármely pontja tükrözhető (a szimmetriatengelyhez képest) a parabola másik ágán. Ezzel időt takaríthat meg, mivel nem kell kiszámítania a parabola mindkét ágán lévő pontok koordinátáit.

Tippek

• Kerekítse a tört számokat (ha ez a tanár követelménye) - így épül fel a helyes parabola.
• Ha f (x) = ax + bx + c esetén a b vagy c együttható nulla, akkor nincs egyenlet ezekkel az együtthatókkal.Például a 12x + 0x + 6 12x + 6 lesz, mert a 0x 0.