Tartalom

• Lépések
• 1/2 módszer: Két egyenes metszéspontja
• 2. módszer 2 -ből: Problémák a másodfokú függvényekkel
• Tippek

Kétdimenziós térben két egyenes csak egy (x, y) koordinátákkal meghatározott pontban metszi egymást. Mivel mindkét egyenes áthalad metszéspontjukon, az (x, y) koordinátáknak meg kell felelniük mindkét egyenletnek, amely ezeket az egyeneseket írja le.Némi kiegészítő készséggel megtalálhatja a parabola és más másodfokú görbék metszéspontjait.

Lépések

1/2 módszer: Két egyenes metszéspontja

1. 1 Írja fel az egyenleteket minden sorhoz úgy, hogy elkülöníti az egyenlet bal oldalán található y változót. Az egyenlet többi tagját az egyenlet jobb oldalán kell elhelyezni. Talán az "y" helyett megadott egyenlet tartalmazza az f (x) vagy g (x) változót; ebben az esetben izoláljon egy ilyen változót. A változó elkülönítéséhez végezze el a megfelelő matematikát az egyenlet mindkét oldalán.
   • Ha az egyenesek egyenletei nincsenek megadva, akkor az ismert információk alapján keresse meg őket.
   • Példa... Adottak az egyenletek által leírt egyenesek ${ displaystyle y = x + 3}$ és ${ displaystyle y -12 = -2x}$... Az y izolálásához a második egyenletben adjon hozzá 12 -et az egyenlet mindkét oldalához: ${ displaystyle y = 12-2x}$
2. 2 Egyenlítsük az egyenletek jobb oldalán található kifejezéseket! Feladatunk, hogy megtaláljuk mindkét egyenes metszéspontját, vagyis azt a pontot, amelynek koordinátái (x, y) mindkét egyenletet kielégítik. Mivel az "y" változó minden egyenlet bal oldalán található, az egyenletek jobb oldalán található kifejezések egyenlőek. Írja le az új egyenletet.
   • Példa... Mint ${ displaystyle y = x + 3}$ és ${ displaystyle y = 12-2x}$, akkor a következő egyenlőséget írhatja: ${ displaystyle x + 3 = 12-2x}$.
3. 3 Keresse meg az "x" változó értékét. Az új egyenlet csak egy "x" változót tartalmaz. Az "x" megtalálásához izolálja ezt a változót az egyenlet bal oldalán a megfelelő matematika elvégzésével az egyenlet mindkét oldalán. Az x = __ alakú egyenletet kell kapnia (ha ez nem lehetséges, ugorjon a szakasz végére).
   • Példa. ${ displaystyle x + 3 = 12-2x}$
   • Hozzáadás ${ displaystyle 2x}$ az egyenlet mindkét oldalán:
   • ${ displaystyle 3x + 3 = 12}$
   • Vonj le 3 -at az egyenlet mindkét oldaláról:
   • ${ displaystyle 3x = 9}$
   • Ossza el az egyenlet mindkét oldalát 3 -mal:
   • ${ displaystyle x = 3}$.
4. 4 Használja az "x" változó talált értékét az "y" változó értékének kiszámításához. Ehhez cserélje ki a talált értéket "x" az egyenlet (tetszőleges) egyenesében.
   • Példa. ${ displaystyle x = 3}$ és ${ displaystyle y = x + 3}$
   • ${ displaystyle y = 3 + 3}$
   • ${ displaystyle y = 6}$
5. 5 Ellenőrizd a válaszod. Ehhez cserélje ki az "x" értéket a sor másik egyenletében, és keresse meg az "y" értéket. Ha különböző y értékeket kap, ellenőrizze, hogy a számítások helyesek -e.
   • Példa:${ displaystyle x = 3}$ és ${ displaystyle y = 12-2x}$
   • ${ displaystyle y = 12-2 (3)}$
   • ${ displaystyle y = 12-6}$
   • ${ displaystyle y = 6}$
   • Ugyanazt az értéket kaptuk az "y" -re, így nincsenek hibák a számításainkban.
6. 6 Írja le a koordinátákat (x, y). Az "x" és "y" értékek kiszámításával megtalálta a két egyenes metszéspontjának koordinátáit. Írja fel a metszéspont koordinátáit az (x, y) alakba.
   • Példa. ${ displaystyle x = 3}$ és ${ displaystyle y = 6}$
   • Így két egyenes metszi egymást a (3,6) koordinátájú ponton.
7. 7 Számítások speciális esetekben. Bizonyos esetekben az "x" változó értéke nem található. De ez nem jelenti azt, hogy hibázott. Különleges eset akkor fordul elő, ha az alábbi feltételek valamelyike ​​teljesül:
   • Ha két egyenes párhuzamos, akkor nem metszik egymást. Ebben az esetben az "x" változó egyszerűen törlődik, és az egyenlet értelmetlen egyenlőséggé alakul (pl. ${ displaystyle 0 = 1}$). Ebben az esetben írja meg válaszában az egyenesek nem metszik egymást vagy nincs megoldás.
   • Ha mindkét egyenlet egy egyenest ír le, akkor végtelen számú metszéspont lesz. Ebben az esetben az "x" változót egyszerűen törlik, és az egyenlet szigorú egyenlőséggé válik (pl. ${ displaystyle 3 = 3}$). Ebben az esetben írja meg válaszában két egyenes egybeesik.

2. módszer 2 -ből: Problémák a másodfokú függvényekkel

1. 1 Másodfokú függvény meghatározása. Másodfokú függvényben egy vagy több változó másodfokú (de nem magasabb), pl. ${ displaystyle x ^ {2}}$ vagy ${ displaystyle y ^ {2}}$... A másodfokú függvényábrák olyan görbék, amelyek egy vagy két ponton nem vagy nem metszik egymást. Ebben a részben megmutatjuk, hogyan találjuk meg a másodfokú görbék metszéspontját vagy metszéspontjait.
   • Ha az egyenlet egy kifejezést zárójelben tartalmaz, bontsa ki a zárójeleket annak biztosítására, hogy a függvény másodfokú legyen. Például a függvény ${ displaystyle y = (x + 3) (x)}$ másodfokú, mivel a zárójelek kibővítése ad ${ displaystyle y = x ^ {2} + 3x.}$
   • A kört leíró függvény mindkettőt tartalmazza ${ displaystyle x ^ {2}}$és ${ displaystyle y ^ {2}}$... Ha problémái vannak ezzel a funkcióval, akkor lépjen a "Tippek" szakaszba.
2. 2 Írja át az egyenleteket úgy, hogy elkülöníti az egyenlet bal oldalán található y változót. Az egyenlet többi tagját az egyenlet jobb oldalán kell elhelyezni.
   • Példa... Keresse meg a grafikonok metszéspontját ${ displaystyle x ^ {2} + 2x -y = -1}$ és ${ displaystyle y = x + 7}$
   • Szigetelje az y változót az egyenlet bal oldalán:
   • ${ displaystyle y = x ^ {2} + 2x + 1}$ és ${ displaystyle y = x + 7}$.
   • Ebben a példában egy másodfokú függvény és egy lineáris függvény van megadva. Ne feledje, hogy ha két másodfokú függvényt kap, a számítások hasonlóak az alábbi lépésekhez.
3. 3 Egyenlítsük az egyenletek jobb oldalán található kifejezéseket! Mivel az "y" változó minden egyenlet bal oldalán található, az egyenletek jobb oldalán található kifejezések egyenlőek.
   • Példa. ${ displaystyle y = x ^ {2} + 2x + 1}$ és ${ displaystyle y = x + 7}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} + 2x + 1 = x + 7}$
4. 4 Vigye a kapott egyenlet összes tagját a bal oldalára, és írjon 0 -t a jobb oldalára. Ehhez hajtsa végre az alapvető matematikai műveleteket. Ez lehetővé teszi a kapott egyenlet megoldását.
   • Példa. ${ displaystyle x ^ {2} + 2x + 1 = x + 7}$
   • Vonja le az "x" -et az egyenlet mindkét oldaláról:
   • ${ displaystyle x ^ {2} + x + 1 = 7}$
   • Vonja le a 7 -et az egyenlet mindkét oldaláról:
   • ${ displaystyle x ^ {2} + x-6 = 0}$
5. 5 Oldja meg a másodfokú egyenletet!. Ha az egyenlet összes tagját a bal oldalára helyezi, akkor másodfokú egyenletet kap. Háromféleképpen oldható meg: speciális képlet használatával, teljes négyzet kiegészítésével és az egyenlet faktorálásával.
   • Példa. ${ displaystyle x ^ {2} + x-6 = 0}$
   • Egy egyenlet faktorálásakor két binomiális számot kapunk, amelyeket megszorozva megkapjuk az eredeti egyenletet. Példánkban az első kifejezés ${ displaystyle x ^ {2}}$ x * x -re bővíthető. Írja be a következő bejegyzést: (x) (x) = 0
   • Példánkban a -6 szabad kifejezés a következő tényezőkre bővíthető: ${ displaystyle -6 * 1}$, ${ displaystyle -3 * 2}$, ${ displaystyle -2 * 3}$, ${ displaystyle -1 * 6}$.
   • Példánkban a második tag x (vagy 1x). Add hozzá minden pár elfogási tényezőt (példánkban -6), amíg meg nem kapod az 1. A példánkban a megfelelő elfogási tényezőpár -2 és 3 (${ displaystyle -2 * 3 = -6}$), mint ${ displaystyle -2 + 3 = 1}$.
   • Töltse ki az üres helyeket a talált számpárral: ${ displaystyle (x-2) (x + 3) = 0}$.
6. 6 Ne felejtsük el a két grafikon második metszéspontját. Sietve elfelejtheti a második kereszteződési pontot. Így találhatja meg két metszéspont x-koordinátáit:
   • Példa (faktorizálás)... Ha az egyenletben ${ displaystyle (x-2) (x + 3) = 0}$ a zárójelben lévő kifejezések egyike 0, akkor az egész egyenlet 0 lesz. Ezért ezt így írhatja: ${ displaystyle x-2 = 0}$ → ${ displaystyle x = 2}$ és ${ displaystyle x + 3 = 0}$ → ${ displaystyle x = -3}$ (vagyis az egyenlet két gyökerét találta).
   • Példa (képlet vagy kiegészítés használata egy teljes négyzethez)... Ezen módszerek egyikének használatakor a négyzetgyök megjelenik a megoldás folyamatában. Például a példánkban szereplő egyenlet a következő formában jelenik meg ${ displaystyle x = (- 1 + { sqrt {25}}) / 2}$... Ne feledje, hogy két megoldást kap, amikor a négyzetgyököt veszi. A mi esetünkben: ${ displaystyle { sqrt {25}} = 5 * 5}$, és${ displaystyle { sqrt {25}} = (- 5) * (- 5)}$... Tehát írjon fel két egyenletet, és találjon két x értéket.
7. 7 A gráfok egy pontban metszik egymást, vagy egyáltalán nem metszik egymást. Ilyen helyzetek akkor fordulnak elő, ha a következő feltételek teljesülnek:
   • Ha a gráfok egy pontban metszik egymást, akkor a másodfokú egyenletet ugyanazokra a tényezőkre bontjuk, például (x-1) (x-1) = 0, és a 0 négyzetgyöke megjelenik a (${ displaystyle { sqrt {0}}}$). Ebben az esetben az egyenletnek csak egy megoldása van.
   • Ha a grafikonok egyáltalán nem metszik egymást, akkor az egyenlet nem bomlik tényezőkké, és a képletben megjelenik egy negatív szám négyzetgyöke (pl. ${ displaystyle { sqrt {-2}}}$). Ebben az esetben írja a válaszba, hogy nincs megoldás.
8. 8 Cserélje ki az "x" változó talált értékét a görbe (tetszőleges) egyenletében. Ez megtalálja az y változó értékét. Ha két értéke van az "x" változóhoz, kövesse a leírt folyamatot mindkét "x" értékkel.
   • Példa... Két értéket talált az "x" változóhoz: ${ displaystyle x = 2}$ és ${ displaystyle x = -3}$... Csatlakoztassa ezeket az értékeket egy lineáris egyenletbe ${ displaystyle y = x + 7}$... Fogsz kapni : ${ displaystyle y = 2 + 7 = 9}$ és ${ displaystyle y = -3 + 7 = 4}$.
9. 9 Írja fel a metszéspont koordinátáit az (x, y) alakba. Az x és y értékek kiszámításával megtalálta a két grafikon metszéspontjának koordinátáit. Ha két "x" és "y" értéket azonosított, írja le a két koordinátapárt anélkül, hogy összetévesztené a megfelelő "x" és "y" értékeket.
   • Példa... Ha behelyettesítjük az egyenletbe ${ displaystyle x = 2}$ Fogsz kapni ${ displaystyle y = 9}$, azaz egy pár koordinátát (2, 9)... Ha ugyanezt a számítást elvégzi a második x-értékkel, akkor megkapja a második koordinátapárt (-3, 4).

Tippek

• A kört leíró függvény mindkettőt tartalmazza ${ displaystyle x ^ {2}}$és ${ displaystyle y ^ {2}}$... Egy kör és egy egyenes metszéspontjának megtalálásához számítsa ki az "x" értéket egy lineáris egyenlet segítségével. Ezután csatlakoztassa a talált x értéket a kört leíró függvényhez, és kap egy egyszerű másodfokú egyenletet, amely nem rendelkezik megoldással, vagy egy vagy két megoldással.
• Egy kör és egy görbe (másodfokú vagy más) nem metszheti vagy metszi egymást egy, kettő, három, négy pontban. Ebben az esetben meg kell találnia az x értékét (nem "x"), majd be kell cserélnie a második függvénybe. Az y kiszámításával egy vagy két megoldást kap, vagy egyáltalán nem. Most csatlakoztassa a talált "y" értéket a két funkció egyikéhez, és keresse meg az "x" értéket. Ebben az esetben egy vagy két megoldást kap, vagy egyáltalán nem.