Tartalom

• Lépni
• 1/3 rész: Az elemzés alapjai
• 2/3 rész: Megérteni a származékokat
• 3/3 rész: Az integrálok megértése
• Tippek

Az elemzés (más néven számítás) a matematika olyan ága, amely korlátokra, függvényekre, derivatívákra, integrálokra és végtelen sorokra összpontosít. Ez a tantárgy nagyon sok matematikát ölel fel, és ezek alapja a fizikában és a mechanikában használt képletek és egyenletek. Valószínűleg több éves matematikával kell rendelkeznie a középiskolában, hogy megfelelően megértse az elemzést, de ez a cikk elkezdi elsajátítani a kulcsfogalmak felismerését, valamint az elmélet jobb megértését.

Lépni

1/3 rész: Az elemzés alapjai

1. Az elemzés a dolgok változásának tanulmányozása. Az elemzés a matematika olyan ága, amely általában a valós adatokból vett számokat és grafikonokat vizsgál, és elmagyarázza, hogyan változnak. Bár ez elsőre nem tűnik túl hasznosnak, az elemzés a matematika egyik leggyakrabban használt ága. Képzelje el, hogy rendelkezik olyan eszközökkel, amelyek megmondhatják, milyen gyorsan növekszik üzleti vállalkozása adott pillanatban, vagy hogyan lehet feltérképezni egy űrhajó menetét, és milyen gyorsan fogy az üzemanyag. Az elemzés fontos eszköz a mérnöki, gazdasági, statisztikai, kémiai és fizikai területeken, és számos találmányhoz és felfedezéshez járult hozzá.
2. A függvények két szám közötti kapcsolatok, és a kapcsolatok feltérképezésére szolgálnak. A számok kapcsolatának szabályai, és a matematikusok grafikonok készítésére használják őket. Egy függvényben minden bemenetnek pontosan egy eredménye van. Például: be ${ displaystyle y = 2x + 4,}$Gondolj a végtelenség fogalmára. A végtelen egy folyamat folyamatos ismétlése. Ez nem egy meghatározott hely (nem mehet a végtelenbe), hanem egy szám vagy egyenlet viselkedése, ha véglegesen történik. Ez fontos a változás tanulmányozásához: érdemes tudni, hogy az Ön autója milyen gyorsan halad egy adott pillanatban, de vajon ilyen gyorsan mozog-e az autója az aktuális másodperc alatt? Miliszekundum? Nanoszekundum? Végtelenül kisebb darabokat találhat, hogy még pontosabbak legyünk, és ekkor jön be az elemzés.
3. Értse meg a határok fogalmát. Egy határ megmondja, mi történik, ha valami közeledik a végtelenhez. Vegyük az 1-es számot, és osszuk el 2-vel. Folytassuk az osztást 2-vel. Az 1-ből 1/2, majd 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 stb. Válik. Minden alkalommal, amikor a szám egyre kisebb, "közelebb" a nullához. De hol áll meg? Hányszor kell osztani 1-et 2-vel, hogy nulla legyen? A kérdés megválaszolása helyett elemzésként beállít egyet határ Ebben az esetben a határ az.
   • A korlátokat a legkönnyebben vizualizálhatjuk egy grafikonon - például vannak olyan pontok, amelyeket a grafikon szinte érint, de soha nem egészen?
   • A határok lehetnek számok, végtelenek vagy akár nem is létezhetnek. Például az 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... összeadási szekvenciával és ez a végtelenségig folytatódik, a végső szám végtelenül nagy lesz. A határ ekkor végtelen lesz.
4. Tekintse át az algebra, a trigonometria és a matematika alapvető matematikai fogalmait. Az elemzés a korábban megtanult matematika nagy részén alapszik. Ha minden témában jól tájékozott, sokkal könnyebbé válik az elemzés megtanulása és megértése. Néhány téma, amellyel bővíteni lehet:
   • Algebra. Meg kell értenie a különböző folyamatokat, és képesnek kell lennie egyenletek és egyenletrendszerek megoldására több változóval. Ismerje meg a gyűjtemények alapjait. Gyakorold a grafikonok készítését.
   • Geometria. A geometria az alakzatok tanulmányozása. Alapvető ismeretekkel kell rendelkeznie a háromszögekről, téglalapokról és körökről, valamint arról, hogyan lehet kiszámítani például a kerületet és a területet. A szögek, egyenesek és koordináták megértése
   • Trigonometria. A trigonometria a matematika azon ága, amely a körök és a derékszögű háromszögek tulajdonságával foglalkozik. Tudja, hogyan kell használni a trigonometrikus azonosságokat, grafikonokat, függvényeket és inverz trigonometrikus függvényeket.
5. Vásároljon grafikus számológépet. Az elemzést nem könnyű megérteni anélkül, hogy látnánk, mit csinálsz. A grafikus számológépek a funkciókat vizuálissá teszik, hogy jobban megértsék, milyen egyenletekkel van dolgunk. Gyakran a határértékek is megjelennek a képernyőn, és a derivatívákat és a függvényeket automatikusan kiszámítják.
   • Sok okostelefon és tablet ma olcsó, de hatékony grafikus alkalmazásokat kínál, ha nem akar vagy nem tud grafikus számológépet vásárolni.

2/3 rész: Megérteni a származékokat

1. Az elemzést a "változás egy adott pillanatban" tanulmányozására használják. Az elemzés lényege, hogy tudjuk, miért változik valami egy adott pillanatban. Például az elemzés nemcsak az autó sebességét adja meg, hanem azt is, hogy ez a sebesség mennyire változik egy adott pillanatban. Ez az elemzés egyik legegyszerűbb felhasználási módja, de nagyon fontos. Képzelje el, mennyire fontos egy ilyen információ az űrhajó Holdra jutásának sebességének meghatározásában!
   • A változás meghatározása egy adott időpontban megtörtént megkülönböztetni. A differenciálás az első két elemzési ág közül.
2. Használja derivatívákat annak megértéséhez, hogy a dolgok hogyan változnak egy adott időpontban. A "származék" egy szép szó valamire, ami gyakran idegesíti a diákokat. Magát a koncepciót azonban nem olyan nehéz megérteni - csupán annyit jelent, hogy "milyen gyorsan változik valami". Azok a származékok, amelyekkel a hétköznapi életben leginkább találkozni fog, a sebességgel kapcsolatosak. Azonban általában nem "a sebesség deriváltjának", hanem egyszerűen "gyorsításnak" hívja.
   • A gyorsulás egy derivált - megmondja, hogy valami gyorsan gyorsul vagy lassul, vagy hogyan változik a sebessége.
3. Tudja, hogy a változás mértéke megegyezik a két pont közötti meredekséggel. Ez az elemzés egyik legfontosabb felfedezése. A két pont közötti változás mértéke megegyezik a két pont közötti egyenes meredekségével. Gondoljon csak egy egyszerű sorra, például az egyenletre ${ displaystyle y = 3x.}$Tudja, hogy meghatározhatja az ívelt vonalak meredekségét. Az egyenes meredekségének meghatározása viszonylag egyszerű: mennyi változik ${ displaystyle y}$Ha pontosabban szeretné kiszámítani a változást, ellenőrizze, hogy a pontok közelebb vannak-e egymáshoz. Minél közelebb választja a két pontot, annál pontosabb a válasza. Tegyük fel, hogy tudni szeretné, hogy mennyire gyorsul fel autója, amikor megnyomja a gázpedált. Nem a ház és a szupermarket közötti sebességváltozást akarja mérni, hanem a sebességváltozást attól a pillanattól kezdve, hogy beüt a gázpedálra. Minél közelebb kerül az olvasás a másodperc törtrészéhez, annál pontosabb a változás kiszámítása.
   • Például a tudósok azt vizsgálják, hogy egyes fajok milyen gyorsan pusztulnak el, hogy megmentsék őket. Télen azonban több állat pusztul el, mint nyáron, ezért nem hasznos az egész év változásainak tanulmányozása - jobb, ha a változás mértékét kisebb időszakon belül határozzuk meg, például július 1-jétől augusztus 1-ig.
4. Végtelenül rövid vonalakkal határozza meg a "pillanatnyi változás sebességét", vagy keresse meg a származékot. Ebben az esetben az elemzés gyakran kissé zavaros lesz, de ez tulajdonképpen két egyszerű tény eredménye. Először is tudja, hogy egy vonal meredeksége megegyezik azzal, hogy az adott vonal milyen gyorsan változik. Másodszor, tudja, hogy minél közelebb vannak a vonal pontjai egymáshoz, annál pontosabb lesz az olvasás. De hogyan találja meg a változás sebességét egy adott ponton, ha a meredekség két pont viszonya? A válasz: Két pontot választasz, amelyek végtelenül közel vannak egymáshoz.
   • Tekintsük azt a példát, ahol folyamatosan osztjuk az 1-et 2-vel, így 1/2, 1/4, 1/8 stb. Így végül a nullához közelít, és a válasz "majdnem nulla". A pontok olyan közel vannak egymáshoz, hogy "szinte egyenlőek egymással". Ez a származékok jellege.
5. Megtanulják, hogyan lehet meghatározni a különféle származékokat. Rengeteg különböző technika létezik a derivált megtalálásához az egyenlettől függően, de a legtöbbjüknek akkor van értelme, ha a fenti származékok alapjait megjegyezte. Valamennyi derivátum egy "végtelenül kicsi" vonal meredekségének megállapítására szolgál. Most, hogy többet tud a származtatott elméletről, a munka nagy része a válaszok megtalálása.
6. Keresse meg a levezetett egyenleteket, hogy bármikor megjósolhassa a változás sebességét. Hasznos derivatívák segítségével meghatározni a változás sebességét az adott időpontban, de az elemzés szépsége, hogy bármilyen funkcióhoz létrehozhat egy új modellt. Származéka ${ displaystyle y = x ^ {2},}$Ha ezt nehezen érti, próbáljon meg emlékezni a származékos termékek valós példáira. A legegyszerűbb példa a sebességen alapul, amely sok különböző származékot ölel fel, amelyekkel nap mint nap találkozunk. Ne felejtsd el: a derivált annak mértéke, hogy valami gyorsan változik. Gondoljon egy egyszerű kísérletre. Márványt gördít az asztalra, és minden alkalommal megméri, hogy meddig mozog és milyen gyorsan. Most képzelje el, hogy a gördülő márvány egy vonalat követ egy grafikonon - derivatívákat használ a pillanatnyi változások mérésére bármikor ezen a vonalon.
   • Milyen gyorsan mozog a márvány? Milyen sebességgel változik a mozgó márvány helyzete (vagy származéka)? Ezt a deriváltat "sebességnek" hívjuk.
   • Görgesse a márványt egy lejtőn, és figyelje meg, hogyan változik a sebesség. Mekkora a márvány sebességének változása vagy deriváltja? Ezt a származékot nevezzük "gyorsulásnak".
   • Görgesse a márványt egy hullámos pályán, például hullámvasúton. Mennyire gyorsul le a márvány, amikor lefelé gördül, és mennyiben lassítja a márvány felfelé? Milyen gyorsan megy a márvány, amikor az első domb felénél van? Ez a márvány változásának pillanatnyi sebessége vagy származéka az adott ponton.

3/3 rész: Az integrálok megértése

1. Tudja, hogy elemzéssel megkeresheti összetett területeket és köteteket. Az elemzéssel olyan összetett formákat mérhet meg, amelyeket egyébként nehéz mérni. Gondoljon például arra a problémára, hogy tudni szeretné, mennyi vizet tartalmaz egy hosszú, szabálytalan alakú tó - lehetetlen minden liter vizet külön mérni, vagy vonalzót használni a tó alakjának mérésére. Elemzéssel megvizsgálhatja, hogyan változnak a tó szélei, majd felhasználhatja ezeket az információkat, hogy megtudja, mennyi vizet tartalmaz.
   • Geometriai modellek készítése és a térfogatok vizsgálata egyesít. Az integrált számítás az elemzés második fontos ága.
2. Tudja, hogy az integráció a grafikon alatti terület. Az integrációt a vonal alatti tér mérésére használják, amely lehetővé teszi a furcsa vagy szabálytalan alakzatok területének meghatározását. Vegyük az egyenletet ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$Tudja, hogy ki kell választania egy integrálandó területet. Nem integrálhat egyszerűen egy teljes függvényt. Például, ${ displaystyle y = x}$Gondoljon bele, hogyan lehet kiszámítani egy téglalap területét. Tegyük fel, hogy lapos vonal van egy grafikon felett, például ${ displaystyle y = 4.}$Tudja meg, hogy az integrálszámításban sok kis téglalapot adunk össze, hogy megtaláljuk a terület területét. Ha egy görbét hatalmasra nagyít, akkor az egyenesnek tűnik. Ezt mindennap látja - nem tudja érzékelni a föld görbületét, mert olyan közel van a föld felszínéhez. Az integráció végtelen számú kis téglalapot hoz létre egy görbe alatt, amely olyan kicsi, hogy alapvetően sík, lehetővé téve számolásukhoz. Mindezek a téglalapok összeadva alkotják a görbe alatti terület területét.
   • Tegyük fel, hogy sok kis szegmenst ad össze a grafikon alatt, és ez az egyes szegmensek szélessége majdnem nulla.
3. Tudja, hogyan kell helyesen elolvasni és leírni az integrálokat. Az integrálok 4 részből állnak. Egy tipikus integrál így néz ki:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ Tudjon meg többet az integrálok megtalálásáról. Az integráció sokféle formában létezik, és nagyon sokféle képletet kell megtanulnia az egyes funkciók integrálásához. Mindazonáltal mindannyian a fent vázolt elveket követik: az integráció végtelen sok dolog összessége.
   • Integrálás helyettesítéssel.
   • Számolja ki a határozatlan integrálokat.
   • Integrálás megosztással.
4. Tudja, hogy az integráció a differenciálás fordítottja és fordítva. Ez egy olyan elemzési szabály, amely annyira fontos, hogy megkapta a saját nevét: az integrált számítás fő tétele.Mivel az integráció és a differenciálás nagyon szorosan összefügg egymással, a kettő kombinációjával meghatározható a változás mértéke, gyorsulás, sebesség, hely, mozgás stb., Függetlenül attól, hogy milyen információval rendelkezik.
   • Például ne feledje, hogy a sebesség deriváltja a gyorsulás, így a sebesség segítségével meg tudja találni a gyorsulást. De ha csak valaminek a gyorsulását ismeri (például a gravitáció miatt eső tárgyakat), akkor integrálódhat a sebesség visszaszerzéséhez!
5. Tudja, hogy az integrációval a 3D objektumok hangerejét is szabályozhatja. A sík alak forgatása a 3D szilárd anyagok létrehozásának egyik módja. Képzeljen el egy érmét, amely az asztalon forog - vegye észre, hogy az érme hogyan forog gömb alakban. Ez a koncepció lehetővé teszi a térfogat meghatározását a "térfogat forgatással" néven ismert folyamat szerint.
   • Ez lehetővé teszi bármely szilárd anyag térfogatának meghatározását, amennyiben van olyan funkciója, amely azt képviseli. Például létrehozhat egy olyan funkciót, amely nyomon követi a tó fenekét, majd ennek segítségével meghatározhatja a tó térfogatát vagy mennyi vizet tartalmaz.

Tippek

• A gyakorlat tökéletesít, ezért végezze el a tankönyvében szereplő gyakorló gyakorlatokat - még azokat is, amelyeket a tanár nem adott -, és ellenőrizze a válaszokat, hogy jobban megértsék a fogalmakat.
• Ha nem talál megoldást, kérdezze meg tanárát.